Faça o gráfico da função
e determine os limites laterais
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente fazer o gráfico da função $ f(x) $ e determinar os limites laterais dela. A função está dividida em três partes, dependendo do valor de $ x $. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções definidas por partes e como traçar seus gráficos. Além disso, vamos usar conceitos de limites laterais para ver o comportamento da função em pontos específicos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as diferentes partes da função:
Aqui, a função muda de expressão em $ x = -4 $ e $ x = 4 $. Isso significa que temos que analisar cada intervalo separadamente para entender como a função se comporta.
Passo 3
Vamos começar com a primeira parte, onde $ x < -4 $:
Essa é uma função linear, da forma $ f(x) = mx + b $, onde $ m = -1 $ e $ b = -6 $. O gráfico será uma linha reta com inclinação negativa, cruzando o eixo $ y $ em $ -6 $.
Passo 4
Agora, a segunda parte, onde $ -4 \leq x < 4 $:
Essa é uma função quadrática, do tipo $ f(x) = -x^2 + 16 $. É uma parábola que abre para baixo (porque o coeficiente de $ x^2 $ é negativo) e tem o vértice no ponto $ (0, 16) $. O gráfico dessa parte será uma curva em forma de “∩”.
Passo 5
Finalmente, a terceira parte, onde $ 4 \leq x $:
Mais uma função linear, dessa vez com $ m = 1 $ e $ b = -6 $. O gráfico será uma linha reta com inclinação positiva, cruzando o eixo $ y $ em $ -6 $.
Passo 6
Agora, vamos plotar cada parte no mesmo sistema de coordenadas:
- Para $ x < -4 $: Uma linha reta decrescente começando de $ x = -4 $ e indo para a esquerda.
- Para $ -4 \leq x < 4 $: Uma parábola virando para baixo, conectando suavemente com as linhas das outras partes.
- Para $ 4 \leq x $: Uma linha reta crescente começando de $ x = 4 $ e indo para a direita.
Passo 7
Vamos agora determinar os limites laterais nos pontos onde a função muda de expressão, ou seja, em $ x = -4 $ e $ x = 4 $.
Em $ x = -4 $:
-
Limite pela esquerda ($ x \to -4^- $):
x = -4 -
Limite pela direita ($ x \to -4^+ $):
x = 4
Em $ x = 4 $:
-
Limite pela esquerda ($ x \to 4^- $):
x = -4 -
Limite pela direita ($ x \to 4^+ $):
x to -4^-
Resposta
O gráfico da função $ f(x) $ é composto por três partes: duas linhas retas e uma parábola, conectando-se nos pontos $ x = -4 $ e $ x = 4 $. Os limites laterais são:
-
Em $ x = -4 $:
- $ \lim_{x \to -4^-} f(x) = -2 $
- $ \lim_{x \to -4^+} f(x) = 0 $
-
Em $ x = 4 $:
- $ \lim_{x \to 4^-} f(x) = 0 $
- $ \lim_{x \to 4^+} f(x) = -2 $