Use o Teorema de Stokes para calcular integral duplaS rot F d S.
F(x, y, z)=y i+z j+x k,
S é a parte do plano x+y+z=1 que está no primeiro octante, orientada ascendentemente

Passo 1

Estamos lidando com o cálculo da integral de superfície integral duplaSnablatimes Fcdot d S onde F(x,y,z)=(y,,z,,x) e S é o triângulo no primeiro octante dado por x+y+z=1, orientado para cima. Vamos usar o Teorema de Stokes, que diz que essa integral de superfície vale a integral de linha de F ao longo da fronteira partial S, mas como nablatimes F é constante, fica muito mais simples calcular diretamente nablatimes Fcdot n vezes a área de S.

Passo 2

Calculamos o rotacional de F pela definição nablatimes F=(partialyF3-partialzF2,;partialzF1-partialxF3,;partialxF2-partialyF1). Aqui temos
nablatimes F=(0-1,;0-1,;0-1)=(-1,,-1,,-1)
O plano x+y+z=1 tem vetor normal não unitário N=(1,1,1). Como queremos orientação ascendente (com componente z>0), o versor normal é
n=(1,1,1)raiz3

Passo 3

A região S é o triângulo cujos vértices são (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1). Cada aresta tem comprimento raiz2, ou seja, é um triângulo equilátero de lado a=raiz2, cuja área é
Área(S)=a^2raiz34=(raiz2)^2raiz34=2raiz34=raiz32Á

Passo 4

Pelo Teorema de Stokes (ou diretamente pela integral de superfície de nablatimes F), temos
integral duplaSnablatimes Fcdot d S=integral duplaS(nablatimes F)cdot n,dS=(,-1,-1,-1)cdot(1,1,1)raiz3timesraiz32

Passo 5

Calculando o produto escalar e multiplicando pela área:
(,-1,-1,-1)cdot(1,1,1)raiz3=-3raiz3=-raiz3,
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integral duplaSnablatimes Fcdot d S=-raiz3timesraiz32=-32

Resposta

-\tfrac{3}{2}

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