Use o Teorema de Stokes para calcular
.
,
é a parte do plano
que está no primeiro octante, orientada ascendentemente
Passo 1
Estamos lidando com o cálculo da integral de superfície
onde
e
é o triângulo no primeiro octante dado por
, orientado para cima. Vamos usar o Teorema de Stokes, que diz que essa integral de superfície vale a integral de linha de
ao longo da fronteira
, mas como
é constante, fica muito mais simples calcular diretamente
vezes a área de
.
Passo 2
Calculamos o rotacional de
pela definição
. Aqui temos
O plano
Passo 3
A região
é o triângulo cujos vértices são
. Cada aresta tem comprimento
, ou seja, é um triângulo equilátero de lado
, cuja área é
Passo 4
Pelo Teorema de Stokes (ou diretamente pela integral de superfície de
), temos
Passo 5
Calculando o produto escalar e multiplicando pela área:
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Resposta
-\tfrac{3}{2}