Calcule as derivadas das seguintes funções.
y=ln (x+raizx^2+lambda)(lambda neq 0)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
y = lnl(x + raizx^2 + lambdar),
onde lambdaneq 0.
O conteúdo envolvido é a regra da cadeia para logaritmo e para raiz quadrada, além da simplificação algébrica do resultado.

Passo 2

Definimos
u(x) = x + raizx^2 + lambda,
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y = lnl(u(x)r)
Pela regra da cadeia para logaritmo,
y' = u'(x)u(x)

Passo 3

Agora calculamos u'(x). Como
u(x) = x + raizx^2 + lambda,
temos
ddxl(xr) = 1 e ddxl(raizx^2 + lambdar) = 12raizx^2 + lambdacdot 2x = xraizx^2 + lambda
Portanto,
u'(x) = 1 + xraizx^2 + lambda

Passo 4

Substituindo em y' = u'u, obtemos
y' = 1 + dfracxraizx^2 + lambda x + raizx^2 + lambda
Multiplicamos numerador e denominador por raizx^2 + lambda:
y' = raizx^2 + lambda + x raizx^2 + lambda,l(x + raizx^2 + lambdar) = x + raizx^2 + lambda raizx^2 + lambda,l(x + raizx^2 + lambdar) = 1raizx^2 + lambda

Resposta

y' = 1raizx^2 + lambda

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