Exercício 5. Seja A=(cc1 / 2 & raiz3 / 2 -raiz3 / 2 & 1 / 2). Verifique que se V é um vetor qualquer no plano, então A V (multiplicação de matriz 2 times 2 por matriz 2 times 1 ) é um vetor obtido de V por uma rotação de pi / 3.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = tfrac12 & tfracraiz32[6pt] -tfracraiz32 & tfrac12
e pede para mostrar que, para todo vetor VinR^2, o produto AV é justamente V girado em um ângulo pi/3.]

Passo 2

Seja V=(x,y). Então
AV = tfrac12 & tfracraiz32[4pt] -tfracraiz32 & tfrac12 x[2pt]y = tfrac12,x + tfracraiz32,y[4pt] -tfracraiz32,x + tfrac12,y ]

Passo 3

Escrevamos V em coordenadas polares:
x = rcosphi, y = rsinphi,
once r=|V| e phi=arg V. Substituindo em AV
AV = r tfrac12cosphi + tfracraiz32sinphi[4pt] -tfracraiz32cosphi + tfrac12sinphi
Agora use as fórmulas de adição de ângulo:
cosl(phi-tfracpi3r) =cosphicostfracpi3+sinphisintfracpi3 =tfrac12cosphi+tfracraiz32sinphi,
sinl(phi-tfracpi3r) =sinphicostfracpi3-cosphisintfracpi3 =tfrac12sinphi-tfracraiz32cosphi
Logo
AV = r cosl(phi-tfracpi3r)[4pt] sinl(phi-tfracpi3r) ,
ou seja, AV é o vetor de módulo r cujo ângulo é phi-pi/3.]

Passo 4

Concluímos que A preserva o comprimento e desloca o argumento de phi para phi-pi/3. Em outras palavras, AV é V girado de pi/3 no sentido horário (ou, equivalentemente, uma rotação de pi/3 se não distinguirmos sentido positivo).

Resposta

O vetor AV é exatamente o vetor V submetido a uma rotação de ângulo pi/3.

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