Exercício 5. Seja . Verifique que se V é um vetor qualquer no plano, então A V (multiplicação de matriz 2 times 2 por matriz 2 times 1 ) é um vetor obtido de V por uma rotação de pi / 3.
Passo 1
O enunciado dá a matriz
A = tfrac12 & tfracraiz32[6pt] -tfracraiz32 & tfrac12
e pede para mostrar que, para todo vetor VinR^2, o produto AV é justamente V girado em um ângulo pi/3.]
AV = r cosl(phi-tfracpi3r)[4pt] sinl(phi-tfracpi3r) ,
ou seja, AV é o vetor de módulo r cujo ângulo é phi-pi/3.]
Passo 4
Concluímos que A preserva o comprimento e desloca o argumento de phi para phi-pi/3. Em outras palavras, AV é V girado de pi/3 no sentido horário (ou, equivalentemente, uma rotação de pi/3 se não distinguirmos sentido positivo).
Resposta
O vetor AV é exatamente o vetor V submetido a uma rotação de ângulo pi/3.