Se f e g são funções diferenciáveis tais que
, determine o valor de
se:
(b) h(x)=f(x) g(x)
(b) h(x)=f(x) g(x)
Passo 1
O enunciado dá informações sobre duas funções diferenciáveis
e
avaliadas em
e pede para encontrar a derivada de
em
quando
é o produto delas. Dados fornecidos:
O que se pede:
- Determinar o valor de
quando .
Passo 2
Vou lembrar a definição de derivada que vamos usar como base. A derivada de uma função
em um ponto
é, por definição,
Aqui:
-
é qualquer função diferenciável; -
é o ponto onde queremos a derivada; - a fração
é a taxa média de variação de entre e ; - o limite quando
dá a taxa instantânea, que é a derivada .
Passo 3
Agora aplico essa definição ao produto
para deduzir a fórmula que vamos usar. Tomando
genérico e usando a definição:
Para manipular essa expressão, adiciono e subtraio o termo
no numerador (truque clássico):
Agora separo o limite em soma de limites (permitido quando existem):
Como
é contínua (diferenciabilidade implica continuidade),
. Então:
Passo 4
Resumo da fórmula obtida (regra do produto):
Explicando cada símbolo:
-
é a derivada do produto no ponto . -
é a derivada de em . -
é a derivada de em . -
e são os valores das funções em .
A fórmula diz: a derivada do produto é “derivada do primeiro vezes o segundo (não derivado) + primeiro (não derivado) vezes derivada do segundo”.
Passo 5
Aplicando a fórmula ao nosso caso com
. Pelos dados:
Usando
substituo os números:
Portanto
.]
Passo 6
Comentário rápido e motivador: a técnica que usamos vale sempre para produtos de funções. Na prova, ao ver
, aplique direto a fórmula da regra do produto; se tiver dúvida, lembre-se da derivada pela definição e do truque de adicionar/subtrair o mesmo termo para separar limites — isso é bom para justificar a fórmula caso peçam. Você deu um passo certo ao pedir a solução passo a passo; continue praticando com exercícios semelhantes que envolvem soma, produto e quociente.