Se f e g são funções diferenciáveis tais que
\mathrm{f}(2)=3, f^{\prime}(2)=-1, g(2)=-5, g^{\prime}(2)=2, determine o valor de h^{\prime}(2) se:
(b) h(x)=f(x) g(x)

Passo 1

O enunciado dá informações sobre duas funções diferenciáveis f e g avaliadas em x=2 e pede para encontrar a derivada de h em x=2 quando h é o produto delas. Dados fornecidos:
  • \,f(2)=3.
  • \,f'(2)=-1.
  • \,g(2)=-5.
  • \,g'(2)=2.
O que se pede:
  • Determinar o valor de h'(2) quando h(x)=f(x)\,g(x).

Passo 2

Vou lembrar a definição de derivada que vamos usar como base. A derivada de uma função k em um ponto a é, por definição,
k'(a)=\lim_{x\to a}\frac{k(x)-k(a)}{x-a}.
Aqui:
  • k é qualquer função diferenciável;
  • a é o ponto onde queremos a derivada;
  • a fração \dfrac{k(x)-k(a)}{x-a} é a taxa média de variação de k entre x e a;
  • o limite quando x\to a dá a taxa instantânea, que é a derivada k'(a).

Passo 3

Agora aplico essa definição ao produto h(x)=f(x)g(x) para deduzir a fórmula que vamos usar. Tomando a genérico e usando a definição:
h'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)g(x)-f(a)g(a)}{x-a}.
Para manipular essa expressão, adiciono e subtraio o termo f(x)g(a) no numerador (truque clássico):
\begin{aligned} h'(a) &=\lim_{x\to a}\frac{f(x)g(x)-f(x)g(a)+f(x)g(a)-f(a)g(a)}{x-a} \\\ &=\lim_{x\to a}\left[\frac{f(x)\bigl(g(x)-g(a)\bigr)}{x-a}+\frac{g(a)\bigl(f(x)-f(a)\bigr)}{x-a}\right]. \end{aligned}
Agora separo o limite em soma de limites (permitido quando existem):
h'(a)=\lim_{x\to a} f(x)\cdot\frac{g(x)-g(a)}{x-a}+g(a)\cdot\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.
Como f é contínua (diferenciabilidade implica continuidade), \lim_{x\to a}f(x)=f(a). Então:
h'(a)=f(a)\cdot g'(a)+g(a)\cdot f'(a).

Passo 4

Resumo da fórmula obtida (regra do produto):
\boxed{\,h'(a)=f'(a)\,g(a)+f(a)\,g'(a)\,}
Explicando cada símbolo:
  • h'(a) é a derivada do produto h(x)=f(x)g(x) no ponto x=a.
  • f'(a) é a derivada de f em a.
  • g'(a) é a derivada de g em a.
  • f(a) e g(a) são os valores das funções em a.
    A fórmula diz: a derivada do produto é “derivada do primeiro vezes o segundo (não derivado) + primeiro (não derivado) vezes derivada do segundo”.

Passo 5

Aplicando a fórmula ao nosso caso com a=2. Pelos dados:
f(2)=3,\quad f'(2)=-1,\quad g(2)=-5,\quad g'(2)=2.
Usando
h'(2)=f'(2)\,g(2)+f(2)\,g'(2),
substituo os números:
\begin{aligned} h'(2)&=(-1)\cdot(-5)+3\cdot 2\\[4pt] &=5+6\\[4pt] &=11. \end{aligned}
Portanto h'(2)=11.]

Passo 6

Comentário rápido e motivador: a técnica que usamos vale sempre para produtos de funções. Na prova, ao ver h(x)=f(x)g(x), aplique direto a fórmula da regra do produto; se tiver dúvida, lembre-se da derivada pela definição e do truque de adicionar/subtrair o mesmo termo para separar limites — isso é bom para justificar a fórmula caso peçam. Você deu um passo certo ao pedir a solução passo a passo; continue praticando com exercícios semelhantes que envolvem soma, produto e quociente.

Resposta

h'(2)=11

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