Calcule as derivadas a seguir
\\frac{d}{d t}\left(\frac{5 t}{t^{2}+1}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular a derivada em relação a t da função
\frac{5t}{t^{2}+1}.
Informações dadas:
  • A função é \displaystyle \frac{5t}{t^{2}+1}.
  • O denominador t^{2}+1 é sempre positivo, logo a função está definida para todo t\in\mathbb{R}.
    O que se quer: encontrar \dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{5t}{t^{2}+1}\right).

Passo 2

Escolhemos usar a regra do quociente. Vou apresentar a regra e explicar cada parte, devagarinho.
Regra do quociente: se u(t) e v(t) são funções diferenciáveis e v(t)\neq0, então
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{u(t)}{v(t)}\right)=\frac{u'(t)\,v(t)-u(t)\,v'(t)}{\big(v(t)\big)^{2}}.
Aqui identificamos:
u(t)=5t,\qquad v(t)=t^{2}+1.
Agora calculamos as derivadas simples:
  • u'(t)=\dfrac{d}{dt}\big(5t\big)=5. (Derivada de a t é a.)
  • v'(t)=\dfrac{d}{dt}\big(t^{2}+1\big)=2t. (Derivada de t^{2} é 2t; constante some.)

Passo 3

Aplicando a regra do quociente com os valores de u,u',v,v':
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{5t}{t^{2}+1}\right) =\frac{5\big(t^{2}+1\big)-5t\cdot(2t)}{\big(t^{2}+1\big)^{2}}.
Agora simplificamos o numerador passo a passo:
5\big(t^{2}+1\big)-5t\cdot(2t)=5t^{2}+5-10t^{2}=-5t^{2}+5.
Fatorando 5:
-5t^{2}+5=5\big(1-t^{2}\big).
Portanto a derivada fica
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{5t}{t^{2}+1}\right)=\frac{5\big(1-t^{2}\big)}{\big(t^{2}+1\big)^{2}}.

Passo 4

Confere rápido com outro método (opcional, mas ajuda a fixar): reescrevo a função como produto
\frac{5t}{t^{2}+1}=5t\cdot\big(t^{2}+1\big)^{-1},
aplico a regra do produto e a regra da cadeia. Derivada do primeiro fator 5t é 5. Derivada do segundo fator \big(t^{2}+1\big)^{-1} é
-1\cdot\big(t^{2}+1\big)^{-2}\cdot(2t)=-\frac{2t}{\big(t^{2}+1\big)^{2}}.
Então, pela regra do produto:
5\cdot\big(t^{2}+1\big)^{-1}+5t\cdot\left(-\frac{2t}{\big(t^{2}+1\big)^{2}}\right) =\frac{5}{t^{2}+1}-\frac{10t^{2}}{\big(t^{2}+1\big)^{2}}.
Colocando no mesmo denominador \big(t^{2}+1\big)^{2} obtém-se exatamente
\frac{5\big(1-t^{2}\big)}{\big(t^{2}+1\big)^{2}},
confirmando o resultado anterior.

Resposta

\displaystyle \frac{5\big(1-t^{2}\big)}{\big(t^{2}+1\big)^{2}}

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