Calcule a derivada de cada uma das funções:.
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada da função
Informações dadas:
- A função
é o produto de duas expressões polinomiais: e . - Precisamos encontrar
, a derivada de em relação a .
Passo 2
Escolha do método: como
é o produto de duas funções
e
, o caminho direto e mais simples é usar a regra do produto. Explico a regra do produto de forma didática:
- Regra do produto (fórmula): se
, então
Aqui:
-
é a derivada de em relação a , -
é a derivada de em relação a , - multiplicam-se como indicado e somam-se os dois produtos.
Raciocínio: imagine que
muda um pouco e
muda um pouco; a variação total vem da variação de
mantendo
e da variação de
mantendo
. A fórmula é justamente isso somado.
Passo 3
Revisão das regras básicas que vou usar para derivar cada fator:
- Regra da potência: para
com inteiro, - Regra da constante vezes função: para
constante e , - Regra da soma: a derivada de soma é soma das derivadas:
Vou aplicar estas regras para obter
e
.
Passo 4
Calcular as derivadas dos fatores separadamente.
-
Para
: - Derivada de
: pela regra da potência e da constante, . - Derivada de
(constante) é . - Logo,
- Derivada de
-
Para
: - Derivada de
: . - Derivada de
: . - Logo,
- Derivada de
Passo 5
Aplicar a regra do produto substituindo
:
Substituindo os resultados dos passos anteriores,
Passo 6
Fazer as multiplicações e simplificar passo a passo.
Primeiro produto:
Segundo produto:
Calculando termos:
Somando os termos do segundo produto:
Agora somar os dois resultados:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 7
Comentário rápido (dica para prova): outra forma seria primeiro expandir
multiplicando as duas polinômios e depois derivar o polinômio resultante; dá o mesmo resultado, mas costuma ser mais trabalhoso e com mais chance de erro de sinais em provas com tempo curto. A regra do produto aplicada com cálculo direto das derivadas dos fatores costuma ser mais rápido e seguro.