Calcule a derivada de cada uma das funções:.
f(x)=\left(2 x^{4}-1\right)\left(5 x^{3}+6 x\right)

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada da função
f(x)=\left(2x^{4}-1\right)\left(5x^{3}+6x\right).
Informações dadas:
  • A função f é o produto de duas expressões polinomiais: g(x)=2x^{4}-1 e h(x)=5x^{3}+6x.
  • Precisamos encontrar f'(x), a derivada de f em relação a x.

Passo 2

Escolha do método: como f é o produto de duas funções g(x) e h(x), o caminho direto e mais simples é usar a regra do produto. Explico a regra do produto de forma didática:
  • Regra do produto (fórmula): se \,f(x)=g(x)\,h(x), então
f'(x)=g'(x)\,h(x)+g(x)\,h'(x).
Aqui:
  • g'(x) é a derivada de g em relação a x,
  • h'(x) é a derivada de h em relação a x,
  • multiplicam-se como indicado e somam-se os dois produtos.
Raciocínio: imagine que g muda um pouco e h muda um pouco; a variação total vem da variação de g mantendo h e da variação de h mantendo g. A fórmula é justamente isso somado.

Passo 3

Revisão das regras básicas que vou usar para derivar cada fator:
  • Regra da potência: para \,u(x)=x^{n} com n inteiro, u'(x)=n x^{n-1}.
  • Regra da constante vezes função: para \,c constante e u(x), \frac{d}{dx}\big(c\,u(x)\big)=c\,u'(x).
  • Regra da soma: a derivada de soma é soma das derivadas:
\frac{d}{dx}\big(u(x)+v(x)\big)=u'(x)+v'(x).
Vou aplicar estas regras para obter g'(x) e h'(x).

Passo 4

Calcular as derivadas dos fatores separadamente.
  • Para g(x)=2x^{4}-1:
    • Derivada de 2x^{4}: pela regra da potência e da constante, \frac{d}{dx}(2x^{4})=2\cdot 4x^{3}=8x^{3}.
    • Derivada de -1 (constante) é 0.
    • Logo,
    g'(x)=8x^{3}.
  • Para h(x)=5x^{3}+6x:
    • Derivada de 5x^{3}: \frac{d}{dx}(5x^{3})=5\cdot 3x^{2}=15x^{2}.
    • Derivada de 6x: \frac{d}{dx}(6x)=6.
    • Logo,
    h'(x)=15x^{2}+6.

Passo 5

Aplicar a regra do produto substituindo g, g', h, h':
f'(x)=g'(x)\,h(x)+g(x)\,h'(x).
Substituindo os resultados dos passos anteriores,
f'(x)=(8x^{3})\big(5x^{3}+6x\big)+(2x^{4}-1)\big(15x^{2}+6\big).

Passo 6

Fazer as multiplicações e simplificar passo a passo.
Primeiro produto:
(8x^{3})(5x^{3}+6x)=8x^{3}\cdot 5x^{3}+8x^{3}\cdot 6x=40x^{6}+48x^{4}.
Segundo produto:
(2x^{4}-1)(15x^{2}+6)=2x^{4}\cdot 15x^{2}+2x^{4}\cdot 6-1\cdot 15x^{2}-1\cdot 6.
Calculando termos:
2x^{4}\cdot 15x^{2}=30x^{6},\qquad 2x^{4}\cdot 6=12x^{4},\qquad -1\cdot 15x^{2}=-15x^{2},\qquad -1\cdot 6=-6.
Somando os termos do segundo produto:
(2x^{4}-1)(15x^{2}+6)=30x^{6}+12x^{4}-15x^{2}-6.
Agora somar os dois resultados:
f'(x)=\big(40x^{6}+48x^{4}\big)+\big(30x^{6}+12x^{4}-15x^{2}-6\big).
Agrupando termos semelhantes:
f'(x)=(40x^{6}+30x^{6})+(48x^{4}+12x^{4})-15x^{2}-6.
f'(x)=70x^{6}+60x^{4}-15x^{2}-6.

Passo 7

Comentário rápido (dica para prova): outra forma seria primeiro expandir f(x) multiplicando as duas polinômios e depois derivar o polinômio resultante; dá o mesmo resultado, mas costuma ser mais trabalhoso e com mais chance de erro de sinais em provas com tempo curto. A regra do produto aplicada com cálculo direto das derivadas dos fatores costuma ser mais rápido e seguro.

Resposta

f'(x)=70x^{6}+60x^{4}-15x^{2}-6

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