Calcule as derivadas a seguir
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função racional abaixo, isto é, encontrar
de:
Informações dadas:
- O numerador é o polinômio
. - O denominador é o polinômio
. - A derivada será uma função definida onde o denominador original não é zero (ou seja, em pontos
tais que ).
Passo 2
Regra que vamos usar: a regra do quociente. Se
com
, então
Aqui
é o numerador e
é o denominador. Vou também usar a regra do poder (derivada de
é
) para derivar os polinômios.
Passo 3
Identifico
Calculo as derivadas de
e
aplicando a regra do poder termo a termo:
Passo 4
Aplico a regra do quociente:
Substituindo
:
Passo 5
Faço as multiplicações no numerador passo a passo.
Primeiro produto:
Segundo produto:
Agora subtraio os dois resultados:
Portanto o numerador simplificado é
. Posso fatorar esse polinômio:
Fatorizando o cúbico (teste de raízes racionais:
é raiz) obtém-se
Assim o numerador final fica
O denominador é
. Então a derivada simplificada é
Passo 6
Observações finais rápidas (úteis para prova):
- A derivada só está definida onde
(mesma restrição do domínio da função original). - A fatoração do numerador ajuda a ver zeros da derivada — aqui a derivada zera em
, (com multiplicidade 2) e , desde que o denominador não anule nesses pontos.