Calcule as derivadas a seguir
\\frac{d}{d x}\left(\frac{x^{2}+2 x+1}{x^{3}-2 x-1}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função racional abaixo, isto é, encontrar \dfrac{d}{dx} de:
\frac{x^{2}+2x+1}{x^{3}-2x-1}.
Informações dadas:
  • O numerador é o polinômio \,x^{2}+2x+1.
  • O denominador é o polinômio \,x^{3}-2x-1.
  • A derivada será uma função definida onde o denominador original não é zero (ou seja, em pontos x tais que \,x^{3}-2x-1\neq0).

Passo 2

Regra que vamos usar: a regra do quociente. Se \,f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} com v(x)\neq0, então
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Aqui u(x) é o numerador e v(x) é o denominador. Vou também usar a regra do poder (derivada de x^n é n x^{n-1}) para derivar os polinômios.

Passo 3

Identifico
u(x)=x^{2}+2x+1,\qquad v(x)=x^{3}-2x-1.
Calculo as derivadas de u e v aplicando a regra do poder termo a termo:
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(2x\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(1\bigr)=2x+2+0=2x+2,
v'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(-2x\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(-1\bigr)=3x^{2}-2+0=3x^{2}-2.

Passo 4

Aplico a regra do quociente:
\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Substituindo u,u',v,v':
\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{2}+2x+1}{x^{3}-2x-1}\right) =\frac{(2x+2)(x^{3}-2x-1)-(x^{2}+2x+1)(3x^{2}-2)}{(x^{3}-2x-1)^{2}}.

Passo 5

Faço as multiplicações no numerador passo a passo.
Primeiro produto:
(2x+2)(x^{3}-2x-1)=2x\cdot x^{3}+2\cdot x^{3}+2x\cdot(-2x)+2\cdot(-2x)+2x\cdot(-1)+2\cdot(-1),
=2x^{4}+2x^{3}-4x^{2}-4x-2x-2=2x^{4}+2x^{3}-4x^{2}-6x-2.
Segundo produto:
(x^{2}+2x+1)(3x^{2}-2)=x^{2}\cdot3x^{2}+x^{2}\cdot(-2)+2x\cdot3x^{2}+2x\cdot(-2)+1\cdot3x^{2}+1\cdot(-2),
=3x^{4}-2x^{2}+6x^{3}-4x+3x^{2}-2=3x^{4}+6x^{3}+x^{2}-4x-2.
Agora subtraio os dois resultados:
\begin{aligned} &(2x^{4}+2x^{3}-4x^{2}-6x-2) - (3x^{4}+6x^{3}+x^{2}-4x-2)\\\ &=2x^{4}-3x^{4}+2x^{3}-6x^{3}-4x^{2}-x^{2}-6x+4x-2+2\\\ &=-x^{4}-4x^{3}-5x^{2}-2x+0. \end{aligned}
Portanto o numerador simplificado é -x^{4}-4x^{3}-5x^{2}-2x. Posso fatorar esse polinômio:
-x^{4}-4x^{3}-5x^{2}-2x=-x\bigl(x^{3}+4x^{2}+5x+2\bigr).
Fatorizando o cúbico (teste de raízes racionais: x=-1 é raiz) obtém-se
x^{3}+4x^{2}+5x+2=(x+1)(x^{2}+3x+2)=(x+1)(x+1)(x+2)=(x+1)^{2}(x+2).
Assim o numerador final fica
-x(x+1)^{2}(x+2).
O denominador é (x^{3}-2x-1)^{2}. Então a derivada simplificada é
\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{2}+2x+1}{x^{3}-2x-1}\right) =\frac{-x(x+1)^{2}(x+2)}{(x^{3}-2x-1)^{2}}.

Passo 6

Observações finais rápidas (úteis para prova):
  • A derivada só está definida onde \,x^{3}-2x-1\neq0 (mesma restrição do domínio da função original).
  • A fatoração do numerador ajuda a ver zeros da derivada — aqui a derivada zera em x=0, x=-1 (com multiplicidade 2) e x=-2, desde que o denominador não anule nesses pontos.

Resposta

\displaystyle \frac{d}{dx}\left(\frac{x^{2}+2x+1}{x^{3}-2x-1}\right)=\frac{-x(x+1)^{2}(x+2)}{(x^{3}-2x-1)^{2}}

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