Calcule as derivadas de segunda ordem
f(x, y, z)=x^3 y^2 z^2

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de segunda ordem da função
f(x,y,z)=x^3y^2z^2
O conteúdo é cálculo de derivadas parciais em funções de várias variáveis. Vamos usar a regra da potência e do produto para obter primeiro as derivadas de primeira ordem e depois derivar novamente para chegar às de segunda ordem.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de primeira ordem:
partial fpartial x =partialpartial xl(x^3y^2z^2r) =3x^2y^2z^2,
partial fpartial y =partialpartial yl(x^3y^2z^2r) =2x^3y,z^2,
partial fpartial z =partialpartial zl(x^3y^2z^2r) =2x^3y^2z

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de segunda ordem puras:
partial^2fpartial x^2 =partialpartial xl(3x^2y^2z^2r) =6x,y^2z^2,
partial^2fpartial y^2 =partialpartial yl(2x^3y,z^2r) =2x^3z^2,
partial^2fpartial z^2 =partialpartial zl(2x^3y^2zr) =2x^3y^2

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de segunda ordem mistas:
partial^2fpartial xpartial y =partialpartial yl(3x^2y^2z^2r) =6x^2y,z^2,
partial^2fpartial xpartial z =partialpartial zl(3x^2y^2z^2r) =6x^2y^2z,
partial^2fpartial ypartial z =partialpartial zl(2x^3y,z^2r) =4x^3y,z
Note que pelas condições de suavidade de f temos
partial^2fpartial ypartial x=partial^2fpartial xpartial y, etc.

Resposta

partial^2fpartial x^2=6x,y^2z^2
partial^2fpartial y^2=2x^3z^2
partial^2fpartial z^2=2x^3y^2
partial^2fpartial xpartial y=6x^2y,z^2
partial^2fpartial xpartial z=6x^2y^2z
partial^2fpartial ypartial z=4x^3y,z

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