Encontre o plano tangente e o vetor normal à superfície dada implicitamente no ponto indicado:
x y^2 z+x^2 y z^3+x y^3 z^2=0 em ( 1,1,1 );

Passo 1

O enunciado dá a superfície implícita
F(x,y,z)=x,y^2z ;+;x^2y,z^3;+;x,y^3z^2=0
e pede o plano tangente e o vetor normal no ponto (1,1,1). Vamos usar que o vetor normal é dado pelo gradiente nabla F e que o plano tangente satisfaz
nabla F(1,1,1)cdotl((x,y,z)-(1,1,1)r)=0

Passo 2

Derivando termo a termo, obtemos as parciais:
Fx = y^2z ;+;2x,y,z^3;+;y^3z^2,
Fy = 2x,y,z;+;x^2z^3;+;3x,y^2z^2,
Fz = x,y^2;+;3x^2y,z^2;+;2x,y^3z
Avaliando em (1,1,1):
Fx(1,1,1)=1+2+1=4, Fy(1,1,1)=2+1+3=6, Fz(1,1,1)=1+3+2=6

Passo 3

O vetor normal à superfície em (1,1,1) é
n=nabla F(1,1,1)=(4,6,6)

Passo 4

O plano tangente fica
4(x-1) + 6(y-1) + 6(z-1)=0,
que pode ser reescrito como
4x + 6y + 6z = 16

Resposta

Vetor normal: ,(4,6,6).
Plano tangente: ,4(x-1)+6(y-1)+6(z-1)=0 (equiv. 4x+6y+6z=16).

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