A temperatura T foi medida em um ponto no espaço ( x, y, z ) em uma sala de aula. T é dada por 273(x^2+y^2+z^2). Encontre a razão da mudança de temperatura T com respeito a distância até o ponto P(-3,2,-5) na direção do vetor a=2 i+j+k.

Passo 1

O enunciado dá a temperatura como campo escalar
T(x,y,z) = 273x^2 + y^2 + z^2
e pede a taxa de variação de T no ponto P(-3,2,-5) na direção do vetor a = 2i + j + k.
O conteúdo usado será o derivada direcional, que é dada por
Dvec uT(P) = nabla T(P)cdot vec u,
onde vec u é o vetor unitário na direção de vec a.

Passo 2

Calcular o gradiente de
T(x,y,z) = 273,(x^2+y^2+z^2)^-1
Usando regra de potência e cadeia, obtemos
partial Tpartial x = 273 cdot (-1),(x^2+y^2+z^2)^-2cdot 2x = -546,x(x^2+y^2+z^2)^2,
e analogamente
partial Tpartial y = -546,y(x^2+y^2+z^2)^2, partial Tpartial z = -546,z(x^2+y^2+z^2)^2
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nabla T(x,y,z) = l(-546,x(x^2+y^2+z^2)^2,, -546,y(x^2+y^2+z^2)^2,, -546,z(x^2+y^2+z^2)^2r)

Passo 3

Avaliar nabla T em P(-3,2,-5). Primeiro
r^2 = (-3)^2+2^2+(-5)^2 = 9+4+25 = 38,
então
nabla T(P) = l(-tfrac546cdot(-3)38^2,, -tfrac546cdot 238^2,, -tfrac546cdot(-5)38^2r) = l(tfrac16381444,,-tfrac10921444,,tfrac27301444r)

Passo 4

Encontrar o vetor unitário na direção de vec a = (2,1,1). O módulo é
lvert vec arvert = raiz2^2+1^2+1^2 = raiz6,
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vec u = vec alvert vec arvert = l(2raiz6,,1raiz6,,1raiz6r)

Passo 5

Calcular a derivada direcional
Dvec uT(P) = nabla T(P)cdot vec u = 1raiz6l( 2cdot tfrac16381444 +1cdotl(-tfrac10921444r) +1cdot tfrac27301444 r)
No numerador temos
2cdot1638 -1092 +2730 = 3276 -1092 +2730 = 4914,
portanto
Dvec uT(P) = 49141444,raiz6 = 2457722,raiz6

Resposta

2457722,raiz6 approx 1,39

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