Encontre o plano tangente e o vetor normal à superfície no ponto dado:
em

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície z=f(x,y) com
f(x,y)=ln1+e^x^21+e^y^2
e pede o plano tangente e o vetor normal no ponto l(x0,y0r)=(e,e^-1).
Para isso vamos calcular as derivadas parciais de f, avaliar em (e,e^-1) e usar a fórmula do plano tangente
z - z0 = fx(x0,y0),(x-x0) + fy(x0,y0),(y-y0),
onde z0=f(e,e^-1). O vetor normal pode ser tomado como
n=(-fx(x0,y0),,-fy(x0,y0),,1)

Passo 2

Escrevendo
f(x,y)=ln(1+e^x^2) - ln(1+e^y^2),
temos
fx(x,y)=2x,e^x^21+e^x^2, fy(x,y)=-2y,e^y^21+e^y^2

Passo 3

No ponto l(e,e^-1r):
fx(e,e^-1) =2e,e^e^21+e^e^2, fy(e,e^-1) =-2e^-1,e^e^-21+e^e^-2,
e
z0=f(e,e^-1) =ln1+e^e^21+e^e^-2

Passo 4

Substituindo em
z - z0 = fx(e,e^-1)(x-e) + fy(e,e^-1)(y - e^-1),
obtemos
z - ln1+e^e^21+e^e^-2 = 2e,e^e^21+e^e^2,(x-e) ;-; 2e^-1,e^e^-21+e^e^-2,(y - e^-1)

Passo 5

O vetor normal à superfície em (e,e^-1) é
n =l(-fx(e,e^-1),,-fy(e,e^-1),,1r) =( -2e,e^e^21+e^e^2, ;2e^-1,e^e^-21+e^e^-2, ;1 )

Resposta

Plano tangente:
z - ln1+e^e^21+e^e^-2 = 2e,e^e^21+e^e^2,(x-e) - 2e^-1,e^e^-21+e^e^-2,(y - e^-1)
Vetor normal:
n =l( -tfrac2e,e^e^21+e^e^2, ;tfrac2e^-1,e^e^-21+e^e^-2, ;1 r)

Exercícios relacionados