Calcule as derivadas de segunda ordem da função f dada por:
f(x, y)=2 x^3-3 x^2 y+x y^2.

Passo 1

A função é dada por
f(x,y)=2x^3-3x^2y+xy^2
Estamos no contexto de derivadas parciais de segunda ordem para funções de duas variáveis. Para resolver, primeiro vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem fx e fy, depois derivar cada uma dessas de novo em relação a x e y.

Passo 2

Para encontrar fx e fy, usamos a definição de derivada parcial tratando a outra variável como constante:
  • fx=partialpartial x(2x^3)-partialpartial x(3x^2y)+partialpartial x(xy^2).
  • fy=partialpartial y(2x^3)-partialpartial y(3x^2y)+partialpartial y(xy^2).
    Calculando cada termo:
    partialpartial x(2x^3)=6x^2,
    partialpartial x(3x^2y)=6xy,
    partialpartial x(xy^2)=y^2.
    E
    partialpartial y(2x^3)=0,
    partialpartial y(3x^2y)=3x^2,
    partialpartial y(xy^2)=2xy.
    Logo,
fx=6x^2-6xy+y^2,
fy=-3x^2+2xy

Passo 3

Agora calculamos as segundas derivadas mistas a partir de fx:
  • fxx=partialpartial x(6x^2-6xy+y^2)
  • fxy=partialpartial y(6x^2-6xy+y^2)
    Derivando:
    fxx=12x-6y
    fxy=-6x+2y.

Passo 4

Por fim, calculamos as segundas derivadas mistas e puras restantes a partir de fy:
  • fyx=partialpartial x(-3x^2+2xy)
  • fyy=partialpartial y(-3x^2+2xy)
    Derivando:
    fyx=-6x+2y
    fyy=2x.

Resposta

As segundas derivadas parciais são:
fxx=12x-6y, fxy=-6x+2y, fyx=-6x+2y, fyy=2x

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