Determine o vetor gradiente da função f dada por:
$f(x, y, z)=x{2}+y{2}-z^{2}+x y z

Passo 1

Estamos lidando com a função f(x,y,z)=x^2+y^2-z^2+xyz. O conteúdo aqui é derivadas parciais e gradiente. Para resolver, precisamos lembrar que o gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais de f em relação a cada variável.
O gradiente de f é definido como nabla f=(partial f/partial x,;partial f/partial y,;partial f/partial z). Vamos aplicar isso diretamente.

Passo 2

Para encontrar partial f/partial x, tratamos y e z como constantes e derivamos f em relação a x. Temos:
partial fpartial x=partialpartial x(x^2)+partialpartial x(y^2)-partialpartial x(z^2)+partialpartial x(xyz)
Como y^2 e z^2 não dependem de x, suas derivadas são zero. Logo:
partial fpartial x=2x+yz

Passo 3

Agora para partial f/partial y, tratamos x e z como constantes:
partial fpartial y=partialpartial y(x^2)+partialpartial y(y^2)-partialpartial y(z^2)+partialpartial y(xyz)
Isso dá:
partial fpartial y=2y+xz

Passo 4

Finalmente, para partial f/partial z, tratamos x e y como constantes:
partial fpartial z=partialpartial z(x^2)+partialpartial z(y^2)-partialpartial z(z^2)+partialpartial z(xyz)
Como x^2 e y^2 não dependem de z, suas derivadas são zero. Logo:
partial fpartial z=-2z+xy

Resposta

nabla f(x,y,z)=(2x+yz,;2y+xz,;-2z+xy)

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