Determine partial fpartial x e partial fpartial y sendo f(x, y)=rrrx^3 yx^6+y^2, & se & (x, y) neq(0,0) 0, & se & (x, y)=(0,0).

Passo 1

O enunciado pede para determinar as derivadas parciais de uma função por partes. O conteúdo é cálculo de derivadas parciais, usando a definição de derivada na origem e, para os pontos fora de (0,0), a regra do quociente.

Passo 2

Para (x,y)≠(0,0), definimos o numerador N(x,y)=x^3y e o denominador D(x,y)=x^6+y^2. Para calcular partial f/partial x aplicamos a regra do quociente:
partial fpartial x=partialx Ncdot D - Ncdotpartialx DD^2
Derivando temos partialx N=3x^2y e partialx D=6x^5.

Passo 3

Substituindo na expressão:
partial fpartial x=3x^2y,(x^6+y^2)-x^3ycdot6x^5(x^6+y^2)^2
Simplificando obtemos
partial fpartial x=3x^2y(y^2 - x^6)(x^6+y^2)^2

Passo 4

De modo análogo, para partial f/partial y derivamos N e D em relação a y:
partialy N=x^3 e partialy D=2y.
Pela regra do quociente:
partial fpartial y=x^3(x^6+y^2)-x^3ycdot2y(x^6+y^2)^2
Simplificando:
partial fpartial y=x^3(x^6 - y^2)(x^6+y^2)^2

Passo 5

Na origem (0,0) usamos a definição de derivada parcial como limite. Por exemplo:
partial fpartial x(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h=limhto00-0h=0
Analogamente partial f/partial y(0,0)=0.

Resposta

As derivadas parciais são
partial fpartial x(x,y)= dfrac3x^2y(y^2 - x^6)(x^6+y^2)^2,&(x,y)neq(0,0), 0,&(x,y)=(0,0),
partial fpartial y(x,y)= dfracx^3(x^6 - y^2)(x^6+y^2)^2,&(x,y)neq(0,0), 0,&(x,y)=(0,0)

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