Determine
e
sendo
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar as derivadas parciais de uma função por partes. O conteúdo é cálculo de derivadas parciais, usando a definição de derivada na origem e, para os pontos fora de (0,0), a regra do quociente.
Passo 2
Para (x,y)≠(0,0), definimos o numerador
e o denominador
. Para calcular
aplicamos a regra do quociente:
Derivando temos
e
.
Passo 3
Substituindo na expressão:
Simplificando obtemos
Passo 4
De modo análogo, para
derivamos
e
em relação a
:
e
.
Pela regra do quociente:
Pela regra do quociente:
Simplificando:
Passo 5
Na origem
usamos a definição de derivada parcial como limite. Por exemplo:
Analogamente
.
Resposta
As derivadas parciais são