Determinar d ud t, usando a regra da cadeia:
u=raizx^2+y^2+z^2, x=tg(t), y=cos (t), z=sen(t), 0

Passo 1

O enunciado pede para a gente achar dudt usando a regra da cadeia, sabendo que u=raizx^2+y^2+z^2 e que as variáveis dependem de t: , x=tg(t), y=cos(t), para z=sin(t). Vamos usar derivadas parciais e a regra da cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 2

Quando temos uma função u(x,y,z) e cada variável depende de t, a regra da cadeia diz:
dudt=partial upartial xdxdt+partial upartial ydydt+partial upartial zdzdt
Precisamos, então, das derivadas parciais de u em relação a x,y,z e das derivadas de x,y,z em relação a t.

Passo 3

Como u=(x^2+y^2+z^2)^1/2, as derivadas parciais são:
partial upartial x=xraizx^2+y^2+z^2=xu, partial upartial y=yu, partial upartial z=zu

Passo 4

Agora calculamos as derivadas de x,y,z em função de t:
dxdt=sec^2(t), dydt=-sin(t), dzdt=cos(t)

Passo 5

Substituindo tudo na regra da cadeia:
dudt=xusec^2(t)+yu(-sin(t))+zucos(t)=x,x'+y,y'+z,z'u

Passo 6

Agora fazemos a substituição de x,y,z e simplificamos:
e
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Resposta

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