Use diferenciais para calcular o valor aproximado de:
(12,03 cdot 10,04)^1,08

Passo 1

Temos que aproximar (12,03cdot10,04)^1,08 usando diferenciais. O conteúdo envolve a diferenciação do produto de duas variáveis e da função potência de um só variável.

Passo 2

Definimos as variáveis x=12,03, y=10,04 e a função auxiliar P(x,y)=x,y. No ponto base escolhemos x0=12, y0=10 e, portanto, as variações são dx=0,03, dy=0,04.

Passo 3

Pelo diferencial do produto vale dP=y,dx + x,dy. Substituindo no ponto base temos: dP=10cdot0,03 + 12cdot0,04 = 0,30 + 0,48 = 0,78

Passo 4

Agora definimos f(P)=P^1,08. A diferencial de f é df = f'(P),dP com f'(P)=1,08,P^0,08. Avaliamos em P0=12cdot10=120, então f(P0)=120^1,08 e f'(P0)=1,08cdot120^0,08.

Passo 5

Para calcular numericamente, primeiro achamos 120^0,08=e^0,08ln120. Como ln120approx4,7875, temos 120^0,08approx e^0,383=1,4676. Assim: f(P0)=120times1,4676approx176,11, f'(P0)=1,08times1,4676approx1,5844

Passo 6

Aproximamos então a expressão pelo diferencial: f(P0 + dP)approx f(P0) + f'(P0),dP = 176,11 + 1,5844times0,78 approx176,11 + 1,2358 = 177,35

Resposta

approx177,35

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