Determinar as derivadas parciais
:
.
Passo 1
O enunciado pede as derivadas parciais de uma função de duas variáveis definida indiretamente por
O conteúdo principal envolve derivação de funções compostas e aplicação da regra do quociente.
Passo 2
Primeiro vamos reescrever z diretamente em termos de x e y. Substituindo r=1+x e s=x+y, temos
Passo 3
Para calcular
usamos a regra do quociente em
e
. Assim,
onde
e
. Logo,
Passo 4
Agora simplificamos o numerador:
Portanto,
Passo 5
Para
notamos que
independe de y (ou seja,
) e
. Assim,