Determinar as derivadas parciais partial zpartial x e partial zpartial y :
z=r^2+ss, r=1+x, s=x+y.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de uma função de duas variáveis definida indiretamente por
z=r^2+ss, r=1+x, s=x+y
O conteúdo principal envolve derivação de funções compostas e aplicação da regra do quociente.

Passo 2

Primeiro vamos reescrever z diretamente em termos de x e y. Substituindo r=1+x e s=x+y, temos
z=(1+x)^2x+y+1

Passo 3

Para calcular partial zpartial x usamos a regra do quociente em g(x,y)=(1+x)^2 e h(x,y)=x+y. Assim,
partial zpartial x = g',h - g,h'h^2,
onde g'=2(1+x) e h'=1. Logo,
partial zpartial x = 2(1+x)(x+y) - (1+x)^2(x+y)^2

Passo 4

Agora simplificamos o numerador:
2(1+x)(x+y) - (1+x)^2 = (1+x)l[2(x+y) - (1+x)r] = (1+x)(x + 2y -1)
Portanto,
partial zpartial x = (1+x)(x + 2y -1)(x+y)^2

Passo 5

Para partial zpartial y notamos que g=(1+x)^2 independe de y (ou seja, g'=0) e h'=1. Assim,
partial zpartial y = 0cdot h - (1+x)^2cdot1(x+y)^2 = -(1+x)^2(x+y)^2

Resposta

partial zpartial x = (1+x)(x + 2y -1)(x+y)^2, partial zpartial y = -(1+x)^2(x+y)^2

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