Calcule as derivadas sucessivas para cada uma das seguintes funções:
f(x)=e^{x}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas sucessivas da função
f(x)=e^x.
O conteúdo aqui é diferenciação de funções exponenciais: sabemos que a derivada de e^x é ela própria. A partir disso, podemos ver o padrão e generalizar para derivadas de ordem superior.

Passo 2

Para a primeira derivada, aplicamos a regra básica
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(e^x\bigr)=e^x.

Passo 3

Para a segunda derivada, derivamos f'(x) novamente
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(e^x\bigr)=e^x.

Passo 4

Vendo que cada vez que derivamos obtém-se e^x de novo, concluímos que toda derivada de ordem n tem o mesmo valor. Assim, para n\ge1:
f^{(n)}(x)=e^x.

Resposta

f(x)=e^x,\quad f'(x)=e^x,\quad f''(x)=e^x,\\ \dots,\\ f^{(n)}(x)=e^x.

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