Um míssil é lançado verticalmente para cima de um ponto que está a 8 km de uma estação de rastreamento, e à mesma altura desta. Durante os primeiros 20 segundo de voo, seu ângulo de elevação varia à razão constante de \frac{\pi}{90} \mathrm{rads} / \mathrm{s}. Determine a velocidade do míssil quando o ângulo de elevação for \frac{\pi}{6} rads.

Passo 1

O enunciado diz que um míssil sobe verticalmente a partir de um ponto que está à mesma altura da estação de rastreamento e a uma distância horizontal constante de 8 km dessa estação. O ângulo de elevação \theta entre a horizontal e a linha de visada do radar ao míssil cresce a uma taxa constante
\frac{d\theta}{dt} = \frac{\pi}{90}\\ \text{rad/s}.
Queremos encontrar a velocidade vertical do míssil \frac{dy}{dt} no instante em que \theta = \frac{\pi}{6}. Para isso, vamos usar a relação trigonométrica entre altura y, distância horizontal x e ângulo \theta, e então derivar em relação ao tempo.

Passo 2

Como a distância horizontal x entre o míssil (na vertical) e a estação é constante e vale 8 km, podemos escrever
\tan(\theta) \;=\;\frac{y}{x} \;\;\Longrightarrow\;\; y = x\,\tan(\theta).

Passo 3

Derivando ambos os lados de y = x\,\tan(\theta) em relação ao tempo t, lembrando que x é constante, obtemos
\frac{dy}{dt} = x\;\frac{d}{dt}\bigl[\tan(\theta)\bigr] = x\,\operatorname{sec}^2(\theta)\,\frac{d\theta}{dt}.

Passo 4

Agora basta substituir x=8 km, \frac{d\theta}{dt}=\frac{\pi}{90} rad/s e avaliar em \theta=\frac{\pi}{6}. Primeiro, note que
\operatorname{sec}^2\!\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr) = \bigl(\tfrac{1}{\cos(\pi/6)}\bigr)^2 = \bigl(\tfrac{1}{\sqrt3/2}\bigr)^2 = \frac{4}{3}.
Logo,
\frac{dy}{dt} = 8\;\Bigl(\frac{4}{3}\Bigr)\;\Bigl(\frac{\pi}{90}\Bigr) = \frac{32\pi}{270}\\ \text{km/s} = \frac{16\pi}{135}\\ \text{km/s}.
Se quisermos em metros por segundo, multiplica-se por 1000:
\frac{dy}{dt} = \frac{16\pi}{135}\times 1000\approx 372{,}3\\ \text{m/s}.

Resposta

A velocidade vertical do míssil, quando \theta=\tfrac{\pi}{6}, é
\frac{dy}{dt} = \frac{16\pi}{135}\\ \text{km/s} \approx 372{,}3\\ \text{m/s}.

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