Calcule as derivadas sucessivas para cada uma das seguintes funções:
f(x)=\frac{1}{x}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas sucessivas de
f(x)=\frac{1}{x}
ou seja, queremos f'(x), f''(x), f'''(x) e, se possível, a expressão geral f^{(n)}(x). Vamos usar a regra do poder para derivar funções da forma x^{m}.

Passo 2

Reescrevendo
f(x)=x^{-1}
e aplicando a regra do poder (se g(x)=x^{m} então g'(x)=m\,x^{m-1}), temos
f'(x)=(-1)\,x^{-2}=-\frac{1}{x^2}.

Passo 3

Agora derivamos f'(x)=-x^{-2}:
f''(x) = -(-2)\,x^{-3} = 2\,x^{-3} = \frac{2}{x^3}.
Em seguida, derivando mais uma vez:
f'''(x) = 2(-3)\,x^{-4} = -6\,x^{-4} = -\frac{6}{x^4}.

Passo 4

Observando os coeficientes e sinais em
f'(x)=-1\cdot x^{-2},\quad f''(x)=2\cdot x^{-3},\quad f'''(x)=-6\cdot x^{-4},
vemos que aparece o produto (-1)(-2)\cdots(-n). Portanto, por padrão e também por indução, a derivada de ordem n é
f^{(n)}(x)=(-1)(-2)\cdots(-n)\,x^{-1-n}=(-1)^n\,n!\,x^{-n-1} =\;(-1)^n\frac{n!}{x^{n+1}}.

Resposta

f'(x)=-\frac{1}{x^2} f''(x)=\frac{2}{x^3} f'''(x)=-\frac{6}{x^4}
De modo geral, para todo n\ge0:
f^{(n)}(x)=(-1)^n\frac{n!}{x^{n+1}}.

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