Calcule as derivadas sucessivas para cada uma das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede as derivadas sucessivas de
ou seja, queremos
,
,
e, se possível, a expressão geral
. Vamos usar a regra do poder para derivar funções da forma
.
Passo 2
Reescrevendo
e aplicando a regra do poder (se
então
), temos
Passo 3
Agora derivamos
:
Em seguida, derivando mais uma vez:
Passo 4
Observando os coeficientes e sinais em
vemos que aparece o produto
. Portanto, por padrão e também por indução, a derivada de ordem
é
Resposta
De modo geral, para todo