Calcule as derivadas sucessivas para cada uma das seguintes funções:
f(x)=e^{-x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas sucessivas de f(x)=e^{-x}. O conteúdo é aplicação da regra da cadeia em derivação de exponenciais.

Passo 2

Aplicamos a regra da cadeia em f(x)=e^{u(x)} com u(x)=-x. Como u'(x)=-1,
f'(x)=e^{u(x)}\,u'(x)=e^{-x}\cdot(-1)=-e^{-x}.

Passo 3

Derivando novamente, f'(x)=-e^{-x}. De novo pela cadeia,
f''(x)=-\bigl(e^{-x}\cdot(-1)\bigr)=e^{-x}.

Passo 4

Calculando mais umas derivadas para ver o padrão:
f'''(x)=\bigl(e^{-x}\bigr)'=-e^{-x},
f^{(4)}(x)=\bigl(-e^{-x}\bigr)'=e^{-x}.
Percebemos que as derivadas de ordem par são e^{-x} e as de ordem ímpar são -e^{-x}.

Passo 5

Generalizando para n-ésima derivada, obtemos
f^{(n)}(x)=(-1)^{n}e^{-x}.

Resposta

f^{(n)}(x)=(-1)^{n}e^{-x}.

Exercícios relacionados