Calcule as derivadas sucessivas para cada uma das seguintes funções:
f(x)=x^{4}+5 x^{2}+1

Passo 1

O enunciado pede as derivadas sucessivas da função
f(x)=x^{4}+5x^{2}+1
Vamos usar a regra do poder, que diz que
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1}.

Passo 2

Para obter f'(x), derivamos termo a termo:
\frac{d}{dx}(x^{4})=4x^{3}
\frac{d}{dx}(5x^{2})=5\cdot2x=10x
\frac{d}{dx}(1)=0
Logo,
f'(x)=4x^{3}+10x

Passo 3

Para obter f''(x), derivamos f'(x)=4x^{3}+10x:
\frac{d}{dx}(4x^{3})=4\cdot3x^{2}=12x^{2}
\frac{d}{dx}(10x)=10
Logo,
f''(x)=12x^{2}+10

Passo 4

Para f'''(x), derivamos f''(x)=12x^{2}+10:
\frac{d}{dx}(12x^{2})=12\cdot2x=24x
\frac{d}{dx}(10)=0
Logo,
f'''(x)=24x

Passo 5

Para f''''(x), derivamos f'''(x)=24x:
\frac{d}{dx}(24x)=24
Logo,
f''''(x)=24.
Como f''''(x) é constante, todas as derivadas de ordem superior são zero, ou seja,
f^{(5)}(x)=0,\quad f^{(6)}(x)=0,\\ \dots

Resposta

f'(x)=4x^{3}+10x f''(x)=12x^{2}+10 f'''(x)=24x f''''(x)=24 f^{(5)}(x)=0

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