1. Calcule as derivadas de terceira ordem de f(x, y)=x^{4} y^{3}+y^{5} x^{2} e verifique as igualdades
\partial_{x y x} f=\partial_{x x y} f=\partial_{y x x} f

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x^{4}y^{3}+y^{5}x^{2} e pede duas coisas:
  • Calcular as derivadas de terceira ordem indicadas.
  • Verificar que as três derivadas mistas são iguais:
\partial_{x y x} f=\partial_{x x y} f=\partial_{y x x} f.
Informações relevantes fornecidas: a expressão explícita de f(x,y). Não há outras restrições nem pontos singulares aparentes na expressão (é um polinômio em x e y).

Passo 2

Antes de começar a calcular, vamos lembrar conceitos e regras que usaremos (explicados de modo bem didático).
  • Derivada parcial em relação a x: \partial_x f significa derivar f tratando y como constante. Analogamente, \partial_y f deriva tratando x como constante.
  • Regra do produto (para derivada parcial): se g(x,y)=u(x,y)\,v(x,y) então
\partial_x g = (\partial_x u)\,v + u\,(\partial_x v),
e similar para \partial_y.
  • Para um monômio x^{n}y^{m}, valem as fórmulas simples:
\partial_x\bigl(x^{n}y^{m}\bigr)=n\,x^{n-1}y^{m},\qquad \partial_y\bigl(x^{n}y^{m}\bigr)=m\,x^{n}y^{m-1},
porque ao derivar em x o y^{m} é constante, e vice-versa.
  • Notação e ordem: \partial_{x y x}f significa primeiro \partial_x f, depois \partial_y desse resultado, depois \partial_x desse resultado; em símbolos,
\partial_{x y x}f=\partial_x\bigl(\partial_y(\partial_x f)\bigr).
  • Teorema de igualdade de derivadas mistas (Teorema de Clairaut): se as derivadas parciais de ordem suficiente são contínuas numa vizinhança, as derivadas mistas de mesma ordem são iguais independentemente da ordem. No nosso caso, f é polinomial, logo todas as derivadas são polinomiais e contínuas; portanto as igualdades devem ocorrer. Mesmo assim, vamos calcular explicitamente para verificar.

Passo 3

Calcular as derivadas de primeira ordem, passo a passo.
A função é
f(x,y)=x^{4}y^{3}+x^{2}y^{5}.
Derivando em relação a x (tratando y como constante):
\partial_x f = \partial_x\bigl(x^{4}y^{3}\bigr)+\partial_x\bigl(x^{2}y^{5}\bigr).
Usando a regra para monômios:
\partial_x\bigl(x^{4}y^{3}\bigr)=4x^{3}y^{3},\qquad \partial_x\bigl(x^{2}y^{5}\bigr)=2x y^{5}.
Portanto
\boxed{\partial_x f = 4x^{3}y^{3}+2x y^{5}.}
Derivando em relação a y (tratando x como constante):
\partial_y f = \partial_y\bigl(x^{4}y^{3}\bigr)+\partial_y\bigl(x^{2}y^{5}\bigr).
Usando a regra para monômios:
\partial_y\bigl(x^{4}y^{3}\bigr)=3x^{4}y^{2},\qquad \partial_y\bigl(x^{2}y^{5}\bigr)=5x^{2}y^{4}.
Portanto
\boxed{\partial_y f = 3x^{4}y^{2}+5x^{2}y^{4}.}

Passo 4

Calcular as derivadas de segunda ordem (úteis para chegar nas de terceira ordem).
  1. \partial_{xx}f=\partial_x(\partial_x f). Partimos de \partial_x f = 4x^{3}y^{3}+2x y^{5}. Derivando em x:
\partial_{xx}f = \partial_x\bigl(4x^{3}y^{3}\bigr)+\partial_x\bigl(2x y^{5}\bigr).
Aplicando a regra:
\partial_x\bigl(4x^{3}y^{3}\bigr)=12x^{2}y^{3},\qquad \partial_x\bigl(2x y^{5}\bigr)=2 y^{5}.
Logo
\boxed{\partial_{xx}f = 12x^{2}y^{3}+2y^{5}.}
  1. \partial_{xy}f=\partial_y(\partial_x f). Partimos de \partial_x f = 4x^{3}y^{3}+2x y^{5}. Derivando em y:
\partial_{xy}f = \partial_y\bigl(4x^{3}y^{3}\bigr)+\partial_y\bigl(2x y^{5}\bigr).
Aplicando a regra:
\partial_y\bigl(4x^{3}y^{3}\bigr)=12x^{3}y^{2},\qquad \partial_y\bigl(2x y^{5}\bigr)=10x y^{4}.
Logo
\boxed{\partial_{xy}f = 12x^{3}y^{2}+10x y^{4}.}
  1. \partial_{yx}f=\partial_x(\partial_y f). Partimos de \partial_y f = 3x^{4}y^{2}+5x^{2}y^{4}. Derivando em x:
\partial_{yx}f = \partial_x\bigl(3x^{4}y^{2}\bigr)+\partial_x\bigl(5x^{2}y^{4}\bigr).
Aplicando a regra:
\partial_x\bigl(3x^{4}y^{2}\bigr)=12x^{3}y^{2},\qquad \partial_x\bigl(5x^{2}y^{4}\bigr)=10x y^{4}.
Logo
\boxed{\partial_{yx}f = 12x^{3}y^{2}+10x y^{4}.}
Observação: notou que \partial_{xy}f=\partial_{yx}f numericamente; isso já é uma verificação de continuidade das segundas derivadas (aqui garantida por serem polinômios).
  1. (Opcional) \partial_{yy}f=\partial_y(\partial_y f). Partindo de \partial_y f = 3x^{4}y^{2}+5x^{2}y^{4}, derivando em y:
\partial_{yy}f = 6x^{4}y + 20x^{2}y^{3}.

Passo 5

Calcular explicitamente as derivadas de terceira ordem pedidas e mostrar igualdade.
Primeiro, interpretar a notação:
\partial_{x y x}f=\partial_x\bigl(\partial_y(\partial_x f)\bigr)=\partial_x\bigl(\partial_{xy}f\bigr).
Já temos \partial_{xy}f = 12x^{3}y^{2}+10x y^{4}. Agora derivamos isso em x:
\partial_{x y x}f = \partial_x\bigl(12x^{3}y^{2}\bigr)+\partial_x\bigl(10x y^{4}\bigr) =36x^{2}y^{2}+10y^{4}.
Portanto
\boxed{\partial_{x y x}f = 36x^{2}y^{2}+10y^{4}.}
Agora \partial_{x x y}f. Interpretação:
\partial_{x x y}f=\partial_y\bigl(\partial_x(\partial_x f)\bigr)=\partial_y\bigl(\partial_{xx}f\bigr).
Já temos \partial_{xx}f = 12x^{2}y^{3}+2y^{5}. Derivando isso em y:
\partial_{x x y}f = \partial_y\bigl(12x^{2}y^{3}\bigr)+\partial_y\bigl(2y^{5}\bigr) =36x^{2}y^{2}+10y^{4}.
Portanto
\boxed{\partial_{x x y}f = 36x^{2}y^{2}+10y^{4}.}
Finalmente \partial_{y x x}f. Interpretação:
\partial_{y x x}f=\partial_x\bigl(\partial_x(\partial_y f)\bigr)=\partial_x\bigl(\partial_{xx}(\partial_y f)?\bigr)
Mas mais direto: \partial_{y x x}f=\partial_x\bigl(\partial_x(\partial_y f)\bigr)=\partial_x\bigl(\partial_{y x}f\bigr). Temos \partial_{y x}f = 12x^{3}y^{2}+10x y^{4}. Derivando em x:
\partial_{y x x}f = \partial_x\bigl(12x^{3}y^{2}\bigr)+\partial_x\bigl(10x y^{4}\bigr) =36x^{2}y^{2}+10y^{4}.
Portanto
\boxed{\partial_{y x x}f = 36x^{2}y^{2}+10y^{4}.}

Passo 6

Conclusão e interpretação: todos os três cálculos deram exatamente a mesma expressão
36x^{2}y^{2}+10y^{4},
o que confirma numericamente a igualdade
\partial_{x y x}f=\partial_{x x y}f=\partial_{y x x}f.
Explicação teórica curta: como f é polinomial, suas derivadas de todas as ordens são contínuas, e o Teorema de Clairaut garante que qualquer permutação da ordem de diferenciação dá o mesmo resultado; aqui verificamos isso explicitamente.

Resposta

\partial_{x y x}f=\partial_{x x y}f=\partial_{y x x}f=36x^{2}y^{2}+10y^{4}

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