- Calcule as derivadas de terceira ordem de
e verifique as igualdades
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- Calcular as derivadas de terceira ordem indicadas.
- Verificar que as três derivadas mistas são iguais:
Informações relevantes fornecidas: a expressão explícita de
. Não há outras restrições nem pontos singulares aparentes na expressão (é um polinômio em
e
).
Passo 2
Antes de começar a calcular, vamos lembrar conceitos e regras que usaremos (explicados de modo bem didático).
- Derivada parcial em relação a
: significa derivar tratando como constante. Analogamente, deriva tratando como constante. - Regra do produto (para derivada parcial): se
então
e similar para
.
- Para um monômio
, valem as fórmulas simples:
porque ao derivar em
o
é constante, e vice-versa.
- Notação e ordem:
significa primeiro , depois desse resultado, depois desse resultado; em símbolos,
- Teorema de igualdade de derivadas mistas (Teorema de Clairaut): se as derivadas parciais de ordem suficiente são contínuas numa vizinhança, as derivadas mistas de mesma ordem são iguais independentemente da ordem. No nosso caso,
é polinomial, logo todas as derivadas são polinomiais e contínuas; portanto as igualdades devem ocorrer. Mesmo assim, vamos calcular explicitamente para verificar.
Passo 3
Calcular as derivadas de primeira ordem, passo a passo.
A função é
Derivando em relação a
(tratando
como constante):
Usando a regra para monômios:
Portanto
Derivando em relação a
(tratando
como constante):
Usando a regra para monômios:
Portanto
Passo 4
Calcular as derivadas de segunda ordem (úteis para chegar nas de terceira ordem).
-
. Partimos de . Derivando em :
Aplicando a regra:
Logo
-
. Partimos de . Derivando em :
Aplicando a regra:
Logo
-
. Partimos de . Derivando em :
Aplicando a regra:
Logo
Observação: notou que
numericamente; isso já é uma verificação de continuidade das segundas derivadas (aqui garantida por serem polinômios).
- (Opcional)
. Partindo de , derivando em :
Passo 5
Calcular explicitamente as derivadas de terceira ordem pedidas e mostrar igualdade.
Primeiro, interpretar a notação:
Já temos
. Agora derivamos isso em
:
Portanto
Agora
. Interpretação:
Já temos
. Derivando isso em
:
Portanto
Finalmente
. Interpretação:
Mas mais direto:
. Temos
. Derivando em
:
Portanto
Passo 6
Conclusão e interpretação: todos os três cálculos deram exatamente a mesma expressão
o que confirma numericamente a igualdade
Explicação teórica curta: como
é polinomial, suas derivadas de todas as ordens são contínuas, e o Teorema de Clairaut garante que qualquer permutação da ordem de diferenciação dá o mesmo resultado; aqui verificamos isso explicitamente.