Utilize a regra da cadeia que você aprendeu em Cálculo 2 para obter as seguintes derivadas:
(i)
, se
e
;
(ii)
e
, se
e
;
(i)
(ii)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas separadas:
-
(i) Calcular
quando Ou seja, encontrar a derivada total deem função de . -
(ii) Calcular
e quando Ou seja, as derivadas parciais deem relação a e a .
Informações dadas que vamos usar:
- Em (i) as dependências
e estão explicitadas. - Em (ii) as dependências lineares
e estão explicitadas.
Passo 2
Relembrando a regra da cadeia (a forma que vamos usar): se
e
, então a derivada total é
Aqui
e
são as derivadas parciais de
tratando
e
como variáveis independentes. Vou aplicar isso em (i). Dica prática: calcule primeiro
e
simbolicamente, depois substitua
e
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais para (i).
Temos
Derivando parcialmente em relação a
(tratando
como constante):
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a : é constante multiplicativa, e tem derivada . Então
Logo
Agora em relação a
(tratando
como constante):
- Derivada de
em é . - Derivada de
em : usar produto , . Como , obtemos
Portanto
Passo 4
Calcular
e
e montar
.
Temos
e
. Então
Aplicando a regra da cadeia:
Substituindo as expressões encontradas:
Passo 5
Substituir
e
(opcionalmente pode deixar em forma factorizada). Ficamos com a forma final prática para usar na prova:
Se quiser, dá para expandir termos, mas essa forma é clara e direta de aplicar na prova sem erro.
Passo 6
Agora para (ii): estratégia e regra da cadeia para derivadas parciais.
Quando
e
, vale
Antes de aplicar, é útil simplificar
usando
. Então
Passo 7
Calcular
e
(tratando
como variáveis independentes).
Derivando
em relação a
:
-
- A segunda parcela
não depende de , então sua derivada em é zero.
Logo
Derivando em relação a
:
-
-
Portanto
Passo 8
Calcular as derivadas parciais de
e
em relação a
e
, e montar
e
.
Dado
e
, obtemos
Aplicando a regra da cadeia:
Substituindo
e
:
Por fim, substituir
e
se a resposta precisa estar explícita em
.