Utilize a regra da cadeia que você aprendeu em Cálculo 2 para obter as seguintes derivadas:
(i) z^{\prime}(t), se z=x^{2} y^{2}-y \operatorname{sen}(x y), x=t+1 e y=t+t^{2};
(ii) \partial_{u} z e \partial_{v} z, se z=\ln \left(\frac{x^{2} y+1}{y^{2}+1}\right), x=2 u+v e y=3 u-2 v;

Passo 1

O enunciado pede duas coisas separadas:
  • (i) Calcular z^{\prime}(t) quando
    z = x^{2}y^{2} - y\sin(xy),\qquad x=t+1,\qquad y=t+t^{2}.
    Ou seja, encontrar a derivada total de z em função de t.
  • (ii) Calcular \partial_{u} z e \partial_{v} z quando
    z=\ln\!\left(\frac{x^{2}y+1}{y^{2}+1}\right),\qquad x=2u+v,\qquad y=3u-2v.
    Ou seja, as derivadas parciais de z em relação a u e a v.
Informações dadas que vamos usar:
  • Em (i) as dependências x(t) e y(t) estão explicitadas.
  • Em (ii) as dependências lineares x(u,v) e y(u,v) estão explicitadas.

Passo 2

Relembrando a regra da cadeia (a forma que vamos usar): se z=z(x,y) e x=x(t),y=y(t), então a derivada total é
z'(t)=\frac{\partial z}{\partial x}\,x'(t)+\frac{\partial z}{\partial y}\,y'(t).
Aqui \partial z/\partial x e \partial z/\partial y são as derivadas parciais de z tratando x e y como variáveis independentes. Vou aplicar isso em (i). Dica prática: calcule primeiro \partial z/\partial x e \partial z/\partial y simbolicamente, depois substitua x(t) e y(t).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais para (i).
Temos
z(x,y)=x^{2}y^{2}-y\sin(xy).
Derivando parcialmente em relação a x (tratando y como constante):
  • A derivada de x^{2}y^{2} em relação a x é 2x y^{2}.
  • A derivada de -y\sin(xy) em relação a x: y é constante multiplicativa, e \sin(xy) tem derivada \cos(xy)\cdot \frac{d}{dx}(xy)=\cos(xy)\cdot y. Então
\frac{\partial}{\partial x}\big(-y\sin(xy)\big) = -y\cdot\big(\cos(xy)\cdot y\big) = -y^{2}\cos(xy).
Logo
\frac{\partial z}{\partial x}=2x y^{2}-y^{2}\cos(xy)=y^{2}\big(2x-\cos(xy)\big).
Agora em relação a y (tratando x como constante):
  • Derivada de x^{2}y^{2} em y é 2x^{2}y.
  • Derivada de -y\sin(xy) em y: usar produto u=y, v=\sin(xy). \frac{d}{dy}\big(-y\sin(xy)\big) = -\sin(xy) - y\cdot\cos(xy)\cdot\frac{d}{dy}(xy).Como \frac{d}{dy}(xy)=x, obtemos \frac{d}{dy}\big(-y\sin(xy)\big) = -\sin(xy) - x y\cos(xy).
Portanto
\frac{\partial z}{\partial y}=2x^{2}y-\sin(xy)-x y\cos(xy).

Passo 4

Calcular x'(t) e y'(t) e montar z'(t).
Temos x(t)=t+1 e y(t)=t+t^{2}. Então
x'(t)=1,\qquad y'(t)=1+2t.
Aplicando a regra da cadeia:
z'(t)=\frac{\partial z}{\partial x}\,x'(t)+\frac{\partial z}{\partial y}\,y'(t).
Substituindo as expressões encontradas:
z'(t)=\big(y^{2}(2x-\cos(xy))\big)\cdot 1 + \big(2x^{2}y-\sin(xy)-x y\cos(xy)\big)\cdot(1+2t).

Passo 5

Substituir x=t+1 e y=t+t^{2} (opcionalmente pode deixar em forma factorizada). Ficamos com a forma final prática para usar na prova:
z'(t)= (t+t^{2})^{2}\!\big(2(t+1)-\cos\big((t+1)(t+t^{2})\big)\big) + (1+2t)\Big(2(t+1)^{2}(t+t^{2})-\sin\big((t+1)(t+t^{2})\big)-(t+1)(t+t^{2})\cos\big((t+1)(t+t^{2})\big)\Big).
Se quiser, dá para expandir termos, mas essa forma é clara e direta de aplicar na prova sem erro.

Passo 6

Agora para (ii): estratégia e regra da cadeia para derivadas parciais.
Quando z=z(x,y) e x=x(u,v),\,y=y(u,v), vale
\frac{\partial z}{\partial u}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}, \qquad \frac{\partial z}{\partial v}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}.
Antes de aplicar, é útil simplificar z usando \ln(A/B)=\ln A-\ln B. Então
z=\ln(x^{2}y+1)-\ln(y^{2}+1).

Passo 7

Calcular \partial z/\partial x e \partial z/\partial y (tratando x,y como variáveis independentes).
Derivando z=\ln(x^{2}y+1)-\ln(y^{2}+1) em relação a x:
  • \frac{\partial}{\partial x}\ln(x^{2}y+1)=\dfrac{1}{x^{2}y+1}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}y+1)=\dfrac{2x y}{x^{2}y+1}.
  • A segunda parcela -\ln(y^{2}+1) não depende de x, então sua derivada em x é zero.
    Logo
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{2xy}{x^{2}y+1}.
Derivando em relação a y:
  • \frac{\partial}{\partial y}\ln(x^{2}y+1)=\dfrac{1}{x^{2}y+1}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}y+1)=\dfrac{x^{2}}{x^{2}y+1}.
  • \frac{\partial}{\partial y}\big(-\ln(y^{2}+1)\big)=-\dfrac{1}{y^{2}+1}\cdot 2y=-\dfrac{2y}{y^{2}+1}.
    Portanto
\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{x^{2}}{x^{2}y+1}-\frac{2y}{y^{2}+1}.

Passo 8

Calcular as derivadas parciais de x e y em relação a u e v, e montar \partial_{u}z e \partial_{v}z.
Dado x=2u+v e y=3u-2v, obtemos
\frac{\partial x}{\partial u}=2,\quad \frac{\partial x}{\partial v}=1,\quad \frac{\partial y}{\partial u}=3,\quad \frac{\partial y}{\partial v}=-2.
Aplicando a regra da cadeia:
\frac{\partial z}{\partial u}= \frac{\partial z}{\partial x}\cdot 2 + \frac{\partial z}{\partial y}\cdot 3, \qquad \frac{\partial z}{\partial v}= \frac{\partial z}{\partial x}\cdot 1 + \frac{\partial z}{\partial y}\cdot (-2).
Substituindo \partial z/\partial x e \partial z/\partial y:
\frac{\partial z}{\partial u}= 2\cdot\frac{2xy}{x^{2}y+1} + 3\!\left(\frac{x^{2}}{x^{2}y+1}-\frac{2y}{y^{2}+1}\right),
\frac{\partial z}{\partial v}= \frac{2xy}{x^{2}y+1} -2\!\left(\frac{x^{2}}{x^{2}y+1}-\frac{2y}{y^{2}+1}\right).
Por fim, substituir x=2u+v e y=3u-2v se a resposta precisa estar explícita em u,v.

Resposta

z'(t)=(t+t^{2})^{2}\!\big(2(t+1)-\cos\big((t+1)(t+t^{2})\big)\big)\;+\;(1+2t)\Big(2(t+1)^{2}(t+t^{2})-\sin\big((t+1)(t+t^{2})\big)-(t+1)(t+t^{2})\cos\big((t+1)(t+t^{2})\big)\Big)
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial u}=2\cdot\frac{2xy}{x^{2}y+1}+3\!\left(\frac{x^{2}}{x^{2}y+1}-\frac{2y}{y^{2}+1}\right) com x=2u+v,\;y=3u-2v
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial v}=\frac{2xy}{x^{2}y+1}-2\!\left(\frac{x^{2}}{x^{2}y+1}-\frac{2y}{y^{2}+1}\right) com x=2u+v,\;y=3u-2v

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