Calcule as derivadas totais (dz/dy):
z=f(x, y)=5 x+x y+y^2 onde x=3 y^2

Passo 1

Resumindo, queremos a derivada total dzdy de
z = f(x,y) = 5x + x,y + y^2
sob a condição x = 3y^2. O conteúdo é a regra da cadeia para funções de duas variáveis, e vamos precisar das derivadas parciais de f e de tfracdxdy.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f:
partial fpartial x = 5 + y,
partial fpartial y = x + 2y

Passo 3

Derivar x=3y^2 em relação a y:
dxdy = 6y

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia:
dzdy = partial fpartial x,dxdy + partial fpartial y

Passo 5

Substituir partial fpartial x=5+y, dxdy=6y e partial fpartial y=x+2y, além de x=3y^2:
dzdy = (5+y)cdot6y + l(3y^2 + 2yr) = 30y + 6y^2 + 3y^2 + 2y = 9y^2 + 32y

Resposta

dzdy = 9y^2 + 32y

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