3ª) Esboce o gráfico da função e dê o valor de:
a) lim x +infty log 12 x
b) lim x 0+ log 12 x

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função log1/2x e calcular
a) limxto+inftylog1/2x
b) limxto0+log1/2x
O conteúdo envolve propriedades de logaritmos, especialmente quando a base b está em (0,1), e limites de funções.

Passo 2

Para esboçar o gráfico de f(x)=log1/2x:
– Domínio: x>0.
– Ponto de referência: f(1)=log1/21=0.
– Monotonicidade: como 0<tfrac12<1, a função é estritamente decrescente.
– Comportamento nas bordas: há assíntota vertical em x=0 e, conforme x cresce, f(x) decresce sem limite inferior.

Passo 3

Para a) usamos a mudança de base em logaritmos:
log1/2x = ln xlnl(tfrac12r)
Como ln xto+infty quando xto+infty e lnl(tfrac12r)<0, o quociente tende a -infty. Logo,
limxto+inftylog1/2x = -infty

Passo 4

Para b) consideramos xto0+. Então ln xto -infty enquanto lnl(tfrac12r)<0. O quociente
ln xlnl(tfrac12r)
torna-se -inftynegativo=+infty. Assim,
limxto0+log1/2x = +infty

Resposta

a) -infty
b) +infty

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