Ache os pontos críticos de cada função abaixo e classifique-os.
f(x, y)=-x^2-y^2+2 x-2 y

Passo 1

A gente tem a função
f(x,y) = -x^2 - y^2 + 2x - 2y
e precisa encontrar os pontos críticos, isto é, onde o gradiente de f é zero, e depois usar as derivadas de segunda ordem (matriz Hessiana) para ver se cada ponto é máximo, mínimo ou sela.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de primeira ordem:
partial fpartial x = -2x + 2, partial fpartial y = -2y - 2
Para achar o ponto crítico, igualamos ambas a zero:
-2x + 2 = 0, -2y - 2 = 0
isso dá
x = 1, y = -1
Logo o único ponto crítico é (1,-1).

Passo 3

Agora precisamos das derivadas de segunda ordem para montar a Hessiana. Temos
fxx = partial^2 fpartial x^2 = -2, fyy = partial^2 fpartial y^2 = -2, fxy = partial^2 fpartial x,partial y = 0
Assim a matriz Hessiana vale
H = -2 & 0 [6pt] 0 & -2 ]

Passo 4

Para classificar, calculamos o determinante de H e olhamos o sinal de fxx:
det(H) = (-2)cdot(-2) - 0 = 4 > 0,
e fxx = -2 < 0.
Determinante positivo e segunda derivada em x negativa significam que a Hessiana é negativa definida em (1,-1), ou seja, é um ponto de máximo local.

Resposta

O único ponto crítico é (1,-1), que é um máximo local.

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