Ache os pontos críticos de cada função abaixo e classifique-os.
Passo 1
A gente tem a função
e precisa encontrar os pontos críticos, isto é, onde o gradiente de
é zero, e depois usar as derivadas de segunda ordem (matriz Hessiana) para ver se cada ponto é máximo, mínimo ou sela.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais de primeira ordem:
Para achar o ponto crítico, igualamos ambas a zero:
isso dá
Logo o único ponto crítico é
.
Passo 3
Agora precisamos das derivadas de segunda ordem para montar a Hessiana. Temos
Assim a matriz Hessiana vale
Passo 4
Para classificar, calculamos o determinante de
e olhamos o sinal de
:
e
.
Determinante positivo e segunda derivada em negativa significam que a Hessiana é negativa definida em
, ou seja, é um ponto de máximo local.
Determinante positivo e segunda derivada em
Resposta
O único ponto crítico é
, que é um máximo local.