Ache os pontos críticos de cada função abaixo e classifique-os.
f(x, y)=x^2+y^2-x y-3 x-4 y

Passo 1

O enunciado pede os pontos críticos da função
f(x,y)=x^2+y^2-xy-3x-4y
e sua classificação (mínimo, máximo ou ponto de sela). Este é um problema de cálculo multivariável: vamos precisar calcular as derivadas parciais, resolver nabla f=0 e usar o teste da matriz Hessiana para classificar o ponto encontrado.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de
Para achar os pontos críticos, igualamos ambas a zero, obtendo o sistema
Resolvendo esse sistema (por substituição ou regra de Cramer) vem
Logo há um único ponto crítico em (\bigl(\tfrac{10}{3},,\tfrac{11}{3}\bigr)].

Passo 3

Agora vamos classificar esse ponto usando a matriz Hessiana de f:
H = fxx & fxy fyx & fyy = 2 & -1 -1 & 2
Calculamos o discriminante
D = det H = (2)(2) - (-1)^2 = 4 - 1 = 3
e observamos fxx=2>0. Como D>0 e fxx>0, o ponto crítico é um mínimo local.

Resposta

O único ponto crítico é l(tfrac103,,tfrac113r), que corresponde a um mínimo local.

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