Calcule as derivadas usando a regra da cadeia:
f(x)=\tan (2 x+1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função f dada por f(x)=\tan(2x+1).
Informações fornecidas: a função explícita f(x)=\tan(2x+1).
Pergunta: encontrar f'(x), a derivada de f em função de x.

Passo 2

Vamos lembrar a regra que usamos para derivar funções compostas (isso é obrigatório aqui): se temos uma função que é composição de duas funções,
f(x)=g(h(x)),
então a derivada é dada pela regra da cadeia:
f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x).
Explicando de forma simples: derivamos a função exterior g avaliando-a na função interior h(x), e multiplicamos pelo valor da derivada da função interior h'(x). Pense em “derivar por fora e multiplicar pela derivada da parte de dentro”.

Passo 3

Identificamos as partes da composição em f(x)=\tan(2x+1):
  • função exterior g(u)=\tan(u), onde u é uma variável auxiliar;
  • função interior h(x)=2x+1.
    Ou seja, f(x)=g(h(x)) com u=h(x)=2x+1.

Passo 4

Precisamos da derivada da função exterior g(u)=\tan(u) em relação a u. Vou mostrar por que g'(u)=\operatorname{sec}^2(u).
Usamos que \tan(u)=\dfrac{\sin(u)}{\cos(u)}. Aplicando a regra do quociente:
\frac{d}{du}\tan(u)=\frac{\cos(u)\cdot\frac{d}{du}\sin(u)-\sin(u)\cdot\frac{d}{du}\cos(u)}{\cos^2(u)}.
Como \frac{d}{du}\sin(u)=\cos(u) e \frac{d}{du}\cos(u)=-\sin(u), temos
\frac{d}{du}\tan(u)=\frac{\cos(u)\cdot\cos(u)-\sin(u)\cdot(-\sin(u))}{\cos^2(u)} =\frac{\cos^2(u)+\sin^2(u)}{\cos^2(u)}.
E pela identidade trigonométrica \cos^2(u)+\sin^2(u)=1, obtemos
\frac{d}{du}\tan(u)=\frac{1}{\cos^2(u)}=\operatorname{sec}^2(u).
Portanto g'(u)=\operatorname{sec}^2(u).

Passo 5

Agora calculamos a derivada da função interior h(x)=2x+1. Como é uma função linear, sua derivada é a constante que multiplica x:
h'(x)=2.
(Explicando: a derivada de ax+b é a.)

Passo 6

Aplicamos a regra da cadeia com g'(u)=\operatorname{sec}^2(u) e h'(x)=2. Substituindo u=h(x)=2x+1,
f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)=\operatorname{sec}^2(2x+1)\cdot 2.
Podemos escrever de forma mais simples como
f'(x)=2\operatorname{sec}^2(2x+1).
Outra forma equivalente, usando \operatorname{sec}^2(t)=\dfrac{1}{\cos^2(t)}, é
f'(x)=\frac{2}{\cos^2(2x+1)}.

Resposta

f'(x)=2\operatorname{sec}^2(2x+1)

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