Calcule as derivadas usando a regra da cadeia:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
dada por
.
Informações fornecidas: a função explícita .
Pergunta: encontrar , a derivada de
em função de
.
Informações fornecidas: a função explícita
Pergunta: encontrar
Passo 2
Vamos lembrar a regra que usamos para derivar funções compostas (isso é obrigatório aqui): se temos uma função que é composição de duas funções,
então a derivada é dada pela regra da cadeia:
Explicando de forma simples: derivamos a função exterior
avaliando-a na função interior
, e multiplicamos pelo valor da derivada da função interior
. Pense em “derivar por fora e multiplicar pela derivada da parte de dentro”.
Passo 3
Identificamos as partes da composição em
:
- função exterior
, onde é uma variável auxiliar; - função interior
.
Ou seja,com .
Passo 4
Precisamos da derivada da função exterior
em relação a
. Vou mostrar por que
.
Usamos que
. Aplicando a regra do quociente:
Como
e
, temos
E pela identidade trigonométrica
, obtemos
Portanto
.
Passo 5
Agora calculamos a derivada da função interior
. Como é uma função linear, sua derivada é a constante que multiplica
:
(Explicando: a derivada de
é
.)
Passo 6
Aplicamos a regra da cadeia com
e
. Substituindo
,
Podemos escrever de forma mais simples como
Outra forma equivalente, usando
, é