Calcule as derivadas usando a regra da cadeia:
Passo 1
Enunciado: Calcule as derivadas usando a regra da cadeia para a função
.
O que é pedido: encontrar a derivada de
em função de
, ou seja, calcular
.
Informações que o enunciado dá: a função é a exponencial com expoente
. Não há outras informações nem pontos específicos para avaliar — apenas a derivada geral.
Passo 2
Identificar a composição: para aplicar a ideia que o problema pede, escrevemos a função como composição de uma função externa e uma interna. Definimos
e logo
Aqui
é a função interna (depende de
) e
é a função externa aplicada ao valor
.
Passo 3
Lembrando a derivada da função exponencial: a derivada de
em relação a
é
. Ou seja, a exponencial se diferencia “por si mesma”. Na notação, se
então
.
Expliquei isso porque, ao compor com
, vamos precisar dessa derivada avaliada em
.
Passo 4
Explicando a regra da cadeia (intuitivamente): se temos uma composição
, a derivada é dada por multiplicar a derivada da parte externa avaliada na interna pela derivada da parte interna:
Significado das variáveis:
é a função externa (aqui
),
é a função interna (aqui
),
é a derivada de
avaliada em
e
é a derivada de
em relação a
.
Passo 5
Calcular
: aplicamos regras básicas (regra do poder e derivada de constante).
A função é soma de
e
.
A função
- A derivada de
é . - A derivada de
é vezes a derivada de . Pela regra do poder, . Então
Portanto
Passo 6
Aplicar a regra da cadeia à nossa
. Tomando
, temos
. Avaliando em
dá
. Multiplicando por
obtemos
Podemos escrever de forma mais bonita como
Passo 7
Checagem rápida (para ganhar confiança): por exemplo, em
a fórmula dá
o que faz sentido: a inclinação no ponto com
é zero porque o fator
anula tudo. Isso é apenas uma verificação simples.