Calcule as derivadas usando a regra da cadeia:
f(x)=e^{3 x^{2}+1}

Passo 1

Enunciado: Calcule as derivadas usando a regra da cadeia para a função f(x)=e^{3 x^{2}+1}.
O que é pedido: encontrar a derivada de f em função de x, ou seja, calcular f'(x).
Informações que o enunciado dá: a função é a exponencial com expoente 3 x^{2}+1. Não há outras informações nem pontos específicos para avaliar — apenas a derivada geral.

Passo 2

Identificar a composição: para aplicar a ideia que o problema pede, escrevemos a função como composição de uma função externa e uma interna. Definimos
u(x)=3x^{2}+1
e logo
f(x)=e^{u(x)}.
Aqui u(x) é a função interna (depende de x) e e^{(\cdot)} é a função externa aplicada ao valor u(x).

Passo 3

Lembrando a derivada da função exponencial: a derivada de e^{t} em relação a t é \dfrac{d}{dt}e^{t}=e^{t}. Ou seja, a exponencial se diferencia “por si mesma”. Na notação, se g(t)=e^{t} então g'(t)=e^{t}.
Expliquei isso porque, ao compor com u(x), vamos precisar dessa derivada avaliada em u(x).

Passo 4

Explicando a regra da cadeia (intuitivamente): se temos uma composição f(x)=g(u(x)), a derivada é dada por multiplicar a derivada da parte externa avaliada na interna pela derivada da parte interna:
\frac{d}{dx}g(u(x)) = g'(u(x))\cdot u'(x).
Significado das variáveis: g é a função externa (aqui g(t)=e^{t}), u(x) é a função interna (aqui u(x)=3x^{2}+1), g'(u(x)) é a derivada de g avaliada em u(x) e u'(x) é a derivada de u em relação a x.

Passo 5

Calcular u'(x): aplicamos regras básicas (regra do poder e derivada de constante).
A função u(x)=3x^{2}+1 é soma de 3x^{2} e 1.
  • A derivada de 1 é 0.
  • A derivada de 3x^{2} é 3 vezes a derivada de x^{2}. Pela regra do poder, \dfrac{d}{dx}x^{2}=2x. Então
\frac{d}{dx}(3x^{2})=3\cdot 2x=6x.
Portanto
u'(x)=6x.

Passo 6

Aplicar a regra da cadeia à nossa f. Tomando g(t)=e^{t}, temos g'(t)=e^{t}. Avaliando em t=u(x)=3x^{2}+1 g'(u(x))=e^{3x^{2}+1}. Multiplicando por u'(x) obtemos
f'(x)=e^{3x^{2}+1}\cdot 6x.
Podemos escrever de forma mais bonita como
f'(x)=6x\,e^{3x^{2}+1}.

Passo 7

Checagem rápida (para ganhar confiança): por exemplo, em x=0 a fórmula dá
f'(0)=6\cdot 0\cdot e^{3\cdot 0^{2}+1}=0,
o que faz sentido: a inclinação no ponto com x=0 é zero porque o fator 6x anula tudo. Isso é apenas uma verificação simples.

Resposta

f'(x)=6x\,e^{3x^{2}+1}

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