Calcule as derivadas usando a regra da cadeia:
f(x)=(3 x+2)^{5}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=(3x+2)^{5}.
Informações dadas:
\text{função: } f(x)=(3x+2)^{5},\quad \text{variável: } x,\quad \text{expoente: } 5,\quad \text{parte interna: } 3x+2.çãá

Passo 2

Quando temos uma potência de uma expressão (algo na forma (\text{algo})^{n}) que depende de x, usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia diz o seguinte: se
f(x)=g(u(x)) ,
então a derivada é
(f)'(x)=g'(u(x))\cdot u'(x).
Aqui g'(u) é a derivada de g em relação a u (tratando u como variável) e u'(x) é a derivada de u em relação a x. Intuição rápida: primeiro derivamos o “casco” externo mantendo o interno como está, depois multiplicamos pela taxa de variação do interno.

Passo 3

Identificamos a função externa e a função interna:
u(x)=3x+2\quad\text{(função interna)}çã
g(u)=u^{5}\quad\text{(função externa)}çã
Agora calculamos g'(u) usando a regra da potência (power rule). A regra da potência diz que, para uma variável qualquer u,
\frac{d}{du}\big(u^{n}\big)=n\,u^{n-1}.
Aplicando com n=5, obtemos
g'(u)=5\,u^{4}.

Passo 4

Calculamos u'(x). Como u(x)=3x+2 é uma função linear, a derivada de ax+b em relação a x é a. Aqui a=3, então
u'(x)=3.

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia:
f'(x)=g'(u(x))\cdot u'(x).
Substituindo g'(u)=5u^{4} e u(x)=3x+2 e u'(x)=3, obtemos
f'(x)=5\,(3x+2)^{4}\cdot 3.
Multiplicando os coeficientes:
f'(x)=15\,(3x+2)^{4}.
Pronto — essa é a derivada simplificada. Se quiser conferir, uma checagem alternativa seria expandir (3x+2)^{5} via binômio e derivar termo a termo, mas isso dá trabalho a mais; a regra da cadeia é muito mais rápida na prova.

Resposta

f'(x)=15\,(3x+2)^{4}

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