Obtenha a derivada de cada função a seguir:
f(x)=x^{\frac{1}{3}}+x^{\frac{1}{4}}

Passo 1

O enunciado pede: obter a derivada da função
f(x)=x^{\frac{1}{3}}+x^{\frac{1}{4}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função é a soma de duas potências de x com expoentes fracionários \frac{1}{3} e \frac{1}{4}.
  • Para a raiz quarta \,x^{\frac{1}{4}}\, (a raiz real principal) só faz sentido com valores reais de x quando x\ge 0. Portanto, como função real, f(x) está definida para x\ge 0.
  • A tarefa é calcular f'(x), a derivada de f.

Passo 2

Regras básicas que usaremos (explicadas de forma simples):
  1. Linearidade da derivada: a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Ou seja, para funções u(x) e v(x),
\frac{d}{dx}\big(u(x)+v(x)\big)=\frac{d}{dx}u(x)+\frac{d}{dx}v(x).
Isto é intuitivo: a taxa de variação total é a soma das taxas de variação parciais.
  1. Regra da potência (para x>0 e expoente constante real): se g(x)=x^n com n constante real, então
\frac{d}{dx}x^n = n x^{n-1}.
Vou justificar rapidamente essa regra para expoentes fracionários: escrevemos x^n = e^{n\ln x} para x>0. Diferenciando,
\frac{d}{dx}x^n = \frac{d}{dx}e^{n\ln x}=e^{n\ln x}\cdot\frac{d}{dx}(n\ln x)=x^n\cdot\frac{n}{x}=n x^{n-1}.
Aqui usei que a derivada de \ln x é 1/x e a regra da cadeia (derivada de uma composição). Isso vale para qualquer número real n quando x>0.

Passo 3

Aplicando a linearidade: como f(x)=x^{\frac{1}{3}}+x^{\frac{1}{4}}, temos
f'(x)=\frac{d}{dx}x^{\frac{1}{3}}+\frac{d}{dx}x^{\frac{1}{4}}.
Agora vamos calcular cada termo separadamente usando a regra da potência.

Passo 4

Derivada do primeiro termo x^{\frac{1}{3}}.
Usando a regra da potência com n=\frac{1}{3}:
\frac{d}{dx}x^{\frac{1}{3}}=\frac{1}{3}\,x^{\frac{1}{3}-1}=\frac{1}{3}\,x^{-\frac{2}{3}}.
Explicando o cálculo do expoente: \frac{1}{3}-1=\frac{1}{3}-\frac{3}{3}=-\frac{2}{3}. O resultado também pode ser escrito como \dfrac{1}{3}/x^{\frac{2}{3}} ou \dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^{2}}} (para x>0).

Passo 5

Derivada do segundo termo x^{\frac{1}{4}}.
Usando a regra da potência com n=\frac{1}{4}:
\frac{d}{dx}x^{\frac{1}{4}}=\frac{1}{4}\,x^{\frac{1}{4}-1}=\frac{1}{4}\,x^{-\frac{3}{4}}.
Aqui \frac{1}{4}-1=-\frac{3}{4}. Em forma de raiz, isso é \dfrac{1}{4}/x^{\frac{3}{4}}=\dfrac{1}{4\sqrt[4]{x^{3}}} (para x>0).

Passo 6

Somando os resultados (pela linearidade):
f'(x)=\frac{1}{3}\,x^{-\frac{2}{3}}+\frac{1}{4}\,x^{-\frac{3}{4}}.
Observações sobre domínio e diferenciabilidade:
  • As expressões com potências negativas x^{-\frac{2}{3}} e x^{-\frac{3}{4}} exigem x\neq 0 para não dividir por zero. Além disso, pela presença de x^{\frac{1}{4}} na função original, trabalhamos no contexto real com x\ge 0. Assim a forma derivada acima é válida para x>0.
  • Em x=0: a função f está definida (vale 0), mas f'(0) não existe (os termos com potências negativas divergem). Portanto não há derivada finita em x=0.

Resposta

f'(x)=\dfrac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}+\dfrac{1}{4}x^{-\frac{3}{4}} para x>0

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