Obtenha a derivada de cada função a seguir:
Passo 1
O enunciado pede: obter a derivada da função
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função é a soma de duas potências de
com expoentes fracionários e . - Para a raiz quarta
(a raiz real principal) só faz sentido com valores reais de quando . Portanto, como função real, está definida para . - A tarefa é calcular
, a derivada de .
Passo 2
Regras básicas que usaremos (explicadas de forma simples):
- Linearidade da derivada: a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Ou seja, para funções
e ,
Isto é intuitivo: a taxa de variação total é a soma das taxas de variação parciais.
- Regra da potência (para
e expoente constante real): se com constante real, então
Vou justificar rapidamente essa regra para expoentes fracionários: escrevemos
para
. Diferenciando,
Aqui usei que a derivada de
é
e a regra da cadeia (derivada de uma composição). Isso vale para qualquer número real
quando
.
Passo 3
Aplicando a linearidade: como
, temos
Agora vamos calcular cada termo separadamente usando a regra da potência.
Passo 4
Derivada do primeiro termo
.
Usando a regra da potência com :
Usando a regra da potência com
Explicando o cálculo do expoente:
. O resultado também pode ser escrito como
ou
(para
).
Passo 5
Derivada do segundo termo
.
Usando a regra da potência com :
Usando a regra da potência com
Aqui
. Em forma de raiz, isso é
(para
).
Passo 6
Somando os resultados (pela linearidade):
Observações sobre domínio e diferenciabilidade:
- As expressões com potências negativas
e exigem para não dividir por zero. Além disso, pela presença de na função original, trabalhamos no contexto real com . Assim a forma derivada acima é válida para . - Em
: a função está definida (vale ), mas não existe (os termos com potências negativas divergem). Portanto não há derivada finita em .