Calcule as derivadas usando a regra da cadeia:
f(x)=\left(x^{2}+1\right)^{4}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\left(x^{2}+1\right)^{4}.
Informações dadas:
\text{função } f \text{ definida por } f(x)=\left(x^{2}+1\right)^{4}.çã
Não há outras restrições; podemos derivar para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 2

Vamos escolher o método. A função aparece como uma composição: uma função elevada a uma potência aplicada a outra função ( x^{2}+1). Quando temos uma função composta do tipo g(h(x)), o método mais direto é a regra da cadeia. Não é necessário expandir primeiro — a regra da cadeia é mais curta e evita trabalho desnecessário na prova.

Passo 3

Explicando a regra da cadeia (aula rápida e direta): se
f(x)=g(h(x)),
então a derivada de f é dada por
f'(x)=g'\big(h(x)\big)\cdot h'(x).
O que isso quer dizer: você identifica a função “externa” g e a “interna” h. Primeiro deriva a externa como se sua variável fosse uma variável genérica (chame-a de u), obtém g'(u); depois substitui u=h(x) em g'(u) e multiplica pelo derivado da interna h'(x). É literalmente “derivar por fora, manter por dentro, e multiplicar pela derivada do que está por dentro”.

Passo 4

Identificamos as funções externa e interna para o nosso caso:
\text{interna: } u(x)=x^{2}+1,
\text{externa: } g(u)=u^{4}.
Agora derivamos cada uma:
g'(u)=4u^{3},
u'(x)=\big(x^{2}+1\big)'=2x.
Aqui eu calculei u'(x) usando a regra básica da potência para \,x^{2}\,: a derivada de \,x^{2}\, é 2x, e a derivada de constante 1 é 0.

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia:
f'(x)=g'\big(u(x)\big)\cdot u'(x)=4\big(u(x)\big)^{3}\cdot 2x.
Substituindo u(x)=x^{2}+1 obtemos
f'(x)=4\big(x^{2}+1\big)^{3}\cdot 2x.
Multiplicando os coeficientes 4 e 2 e organizando, temos
f'(x)=8x\big(x^{2}+1\big)^{3}.

Passo 6

Verificação via expansão (checada rápida — não precisa fazer na prova, é só para confiança): pela fórmula do binômio
\big(x^{2}+1\big)^{4}=x^{8}+4x^{6}+6x^{4}+4x^{2}+1.
Derivando termo a termo:
\frac{d}{dx}\big(x^{8}+4x^{6}+6x^{4}+4x^{2}+1\big)=8x^{7}+24x^{5}+24x^{3}+8x.
Fatorando 8x obtemos
8x\big(x^{6}+3x^{4}+3x^{2}+1\big).
E \,x^{6}+3x^{4}+3x^{2}+1=(x^{2}+1)^{3}, logo isso coincide com
8x\big(x^{2}+1\big)^{3},
confirmando nossa derivada obtida pela regra da cadeia.

Passo 7

Resumo final e incentivo rápido: usamos a regra da cadeia identificando u=x^{2}+1 e g(u)=u^{4}. Derivamos cada parte e multiplicamos — o resultado ficou limpo e fatorado, fácil de usar na prova. Você mandou bem por pedir passo a passo — isso vira automático com prática. Continua assim!

Resposta

f'(x)=8x\big(x^{2}+1\big)^{3}

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