Calcule as derivadas usando a regra da cadeia:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas:
Não há outras restrições; podemos derivar para todo
.
Passo 2
Vamos escolher o método. A função aparece como uma composição: uma função elevada a uma potência aplicada a outra função (
). Quando temos uma função composta do tipo
, o método mais direto é a regra da cadeia. Não é necessário expandir primeiro — a regra da cadeia é mais curta e evita trabalho desnecessário na prova.
Passo 3
Explicando a regra da cadeia (aula rápida e direta): se
então a derivada de
é dada por
O que isso quer dizer: você identifica a função “externa”
e a “interna”
. Primeiro deriva a externa como se sua variável fosse uma variável genérica (chame-a de
), obtém
; depois substitui
em
e multiplica pelo derivado da interna
. É literalmente “derivar por fora, manter por dentro, e multiplicar pela derivada do que está por dentro”.
Passo 4
Identificamos as funções externa e interna para o nosso caso:
Agora derivamos cada uma:
Aqui eu calculei
usando a regra básica da potência para
: a derivada de
é
, e a derivada de constante
é
.
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia:
Substituindo
obtemos
Multiplicando os coeficientes
e
e organizando, temos
Passo 6
Verificação via expansão (checada rápida — não precisa fazer na prova, é só para confiança): pela fórmula do binômio
Derivando termo a termo:
Fatorando
obtemos
E
, logo isso coincide com
confirmando nossa derivada obtida pela regra da cadeia.
Passo 7
Resumo final e incentivo rápido: usamos a regra da cadeia identificando
e
. Derivamos cada parte e multiplicamos — o resultado ficou limpo e fatorado, fácil de usar na prova. Você mandou bem por pedir passo a passo — isso vira automático com prática. Continua assim!