Calcule as derivadas usando a regra da cadeia:
d[f(r(t))] / d t, onde f(x, y, z)=x^2-3 y^2+5 z^2, r(t)=(cos t, sen t, t^2)

Passo 1

O enunciado pede para calcular dfracddtl[f(r(t))r], sabendo que f: R^3to R é dada por f(x,y,z)=x^2-3y^2+5z^2 e r(t)=(cos t,sin t,t^2). Vamos usar a regra da cadeia para funções vetoriais, que exige o gradiente de f e a derivada de r(t).

Passo 2

Para aplicar a regra da cadeia, primeiro encontramos as derivadas parciais de f. Temos
partial fpartial x=2x, partial fpartial y=-6y, partial fpartial z=10z

Passo 3

Agora calculamos a derivada r'(t) componente a componente. Como r(t)=(cos t,sin t,t^2), obtemos
r'(t)=(-sin t,;cos t,;2t)

Passo 4

A regra da cadeia diz que
ddtf(r(t))=nabla fl(r(t)r)cdot r'(t)
O gradiente em r(t) é
nabla fl(r(t)r)=(2cos t,;-6sin t,;10t^2)

Passo 5

Fazendo o produto escalar entre nabla f(r(t)) e r'(t), temos
(2cos t)(-sin t)+(-6sin t)(cos t)+(10t^2)(2t)

Passo 6

Simplificando cada termo, chega-se a
-2cos tsin t -6sin tcos t +20t^3 = -8sin tcos t +20t^3

Resposta

-8,sin t,cos t + 20,t^3

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