Questão 01
Determine o intervalo de continuidade da seguinte função vetorial:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir o intervalo de continuidade dessa função vetorial:
Isso envolve entender onde cada componente dessa função está contínua. Pra resolver isso, vamos precisar saber sobre funções exponenciais, funções racionais e funções logarítmicas, e como identificar os pontos onde elas podem ter problemas de continuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a primeira componente: $ e^{t} $.
A função exponencial $ e^{t} $ é contínua em todo o conjunto dos números reais. Isso significa que não tem nenhum valor de $ t $ que cause descontinuidade nessa parte da função vetorial.
Passo 3
Agora, vamos para a segunda componente: $ \frac{t^{2}-1}{t-1} $.
Aqui, a gente pode simplificar essa expressão. O numerador $ t^{2}-1 $ pode ser fatorado como $ (t-1)(t+1) $. Assim, temos:
Cancelando o $ t-1 $ que está no numerador e denominador, ficamos com:
Então, essa função é contínua para todos os valores de $ t $, exceto em $ t = 1 $, onde ocorre uma descontinuidade.
Passo 4
Por fim, vamos analisar a terceira componente: $ \ln(t+1) $.
A função logarítmica $ \ln(x) $ é definida apenas para valores de $ x > 0 $. No nosso caso, $ x = t + 1 $, então:
Portanto, a função $ \ln(t+1) $ é contínua para todos os $ t $ maiores que -1.
Passo 5
Agora, vamos juntar todas as informações:
- $ e^{t} $ é contínuo para todo $ t \in \mathbb{R} $.
- $ \frac{t^{2}-1}{t-1} $ é contínua para todo $ t \neq 1 $.
- $ \ln(t+1) $ é contínua para $ t > -1 $.
Para a função vetorial inteira ser contínua, todas as suas componentes precisam ser contínuas. Então, precisamos encontrar os valores de $ t $ que satisfazem todas as condições:
- $ t > -1 $
- $ t \neq 1 $
Isso nos dá o intervalo de $ t $ onde a função vetorial é contínua: