Determine a derivada de f, utilizando a “regra da cadeia”, se:
f(x)=raizx e^x+x

Passo 1

A questão pede pra achar a derivada de f(x)=raizx e^x + x usando a regra da cadeia. O conteúdo é derivada de função composta, e vamos precisar das derivadas da função interna e da raiz quadrada (função externa).

Passo 2

Identificamos a função interna h(x)=x e^x + x. Para derivar usamos a regra do produto em x e^x e a derivada de x: a derivada de x e^x é e^x + x e^x = e^x(x+1). Somando a derivada de +x que é 1, temos h'(x)=e^x(x+1)+1.

Passo 3

A função externa é g(u)=raizu=u^1/2. Aplicando a regra de potência, sua derivada é g'(u)=tfrac12u^-1/2=12raizu.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia, calculamos f'(x)=g'(h(x))cdot h'(x) e obtemos f'(x)=e^x(x+1)+12raizx e^x + x.

Resposta

f'(x)=e^x(x+1)+12raizx e^x + x

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