Calcule as derivadas usando a regra da cadeia:
, onde
para
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada de $ z $ em relação a $ t $ usando a regra da cadeia. Aqui, temos as funções:
Vamos precisar usar a regra da cadeia, que nos ajuda a encontrar derivadas de funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar todas as funções envolvidas:
- $ z $ é uma função que depende de $ x $ e $ y $: $ z = \sin(u) $, onde $ u = x^{2} + y^{2} $.
- $ x $ e $ y $ são funções de $ t $: $ x = 5t + 1 $ e $ y = t^{2} + 3 $.
Passo 3
A regra da cadeia para derivadas parciais nos diz que:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.
Passo 4
Primeiro, calculemos $ \frac{\partial z}{\partial x} $ e $ \frac{\partial z}{\partial y} $:
Passo 5
Agora, calculamos $ \frac{dx}{dt} $ e $ \frac{dy}{dt} $:
Passo 6
Substituindo todas as derivadas na fórmula da regra da cadeia:
Passo 7
Podemos fatorar $ \cos(x^{2} + y^{2}) $:
Passo 8
Agora, vamos substituir $ x = 5t + 1 $ e $ y = t^{2} + 3 $ na expressão:
Passo 9
Simplificamos a expressão dentro do cosseno e os termos multiplicativos:
Primeiro, calculamos $ (5t + 1)^{2} $ e $ (t^{2} + 3)^{2} $:
Agora, substituímos na expressão de $ \frac{dz}{dt} $:
Passo 10
Finalmente, avaliamos a derivada em $ t = 1 $:
Primeiro, calculamos o argumento do cosseno:
Resposta
A derivada $ \frac{dz}{dt} $ avaliada em $ t = 1 $ é: