Calcule as derivadas usando a regra da cadeia:
d z / d t, onde z=sen(x^2+y^2), x=5 t+1, y=t^2+3 para t=1

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada de $ z $ em relação a $ t $ usando a regra da cadeia. Aqui, temos as funções:
z
Vamos precisar usar a regra da cadeia, que nos ajuda a encontrar derivadas de funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as funções envolvidas:
  • $ z $ é uma função que depende de $ x $ e $ y $: $ z = \sin(u) $, onde $ u = x^{2} + y^{2} $.
  • $ x $ e $ y $ são funções de $ t $: $ x = 5t + 1 $ e $ y = t^{2} + 3 $.

Passo 3

A regra da cadeia para derivadas parciais nos diz que:
dzdt = partial zpartial x cdot dxdt + partial zpartial y cdot dydt
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.

Passo 4

Primeiro, calculemos $ \frac{\partial z}{\partial x} $ e $ \frac{\partial z}{\partial y} $:
partial zpartial x
partial zpartial y

Passo 5

Agora, calculamos $ \frac{dx}{dt} $ e $ \frac{dy}{dt} $:
dxdt
dydt

Passo 6

Substituindo todas as derivadas na fórmula da regra da cadeia:
dzdt = [ cos(x^2 + y^2) cdot 2x ] cdot 5 + [ cos(x^2 + y^2) cdot 2y ] cdot 2t

Passo 7

Podemos fatorar $ \cos(x^{2} + y^{2}) $:
cos(x^2 + y^2)
dzdt = cos(x^2 + y^2) cdot (2x cdot 5 + 2y cdot 2t)

Passo 8

Agora, vamos substituir $ x = 5t + 1 $ e $ y = t^{2} + 3 $ na expressão:
x = 5t + 1

Passo 9

Simplificamos a expressão dentro do cosseno e os termos multiplicativos:
Primeiro, calculamos $ (5t + 1)^{2} $ e $ (t^{2} + 3)^{2} $:
(5t + 1)^2
(t^2 + 3)^2
(5t + 1)^2 = 25t^2 + 10t + 1
Agora, substituímos na expressão de $ \frac{dz}{dt} $:
(t^2 + 3)^2 = t^4 + 6t^2 + 9
x^2 + y^2 = 25t^2 + 10t + 1 + t^4 + 6t^2 + 9 = t^4 + 31t^2 + 10t + 10
dzdt

Passo 10

Finalmente, avaliamos a derivada em $ t = 1 $:
Primeiro, calculamos o argumento do cosseno:
t = 1
t^4 + 31t^2 + 10t + 10 = 1 + 31 + 10 + 10 = 52
4t^3 + 62t + 10 = 4 + 62 + 10 = 76

Resposta

A derivada $ \frac{dz}{dt} $ avaliada em $ t = 1 $ é:
dzdt

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