Calcule as derivadas usando a regra da cadeia:
d w / d t, onde w=sen(x^3+y^2+z), x=t, y=t^2 e z=t^3.

Passo 1

A gente tem a função composta w=sen(u) com u=x³+y²+z e ainda x, y, z dependem de t, então o conteúdo é regra da cadeia em várias camadas. Vamos calcular dw/dt aplicando a regra da cadeia passo a passo.

Passo 2

Primeiro identificamos as funções: a externa é f(u)=sen(u) e a interna é u(x,y,z)=x³+y²+z. Pela regra da cadeia básica temos dw/dt = f’(u)·du/dt. Como f’(u)=cos(u), fica:
dwdt=cosl(ur)cdotdudt

Passo 3

Agora precisamos de du/dt, lembrando que u=x³+y²+z e x=x(t), y=y(t), z=z(t). Usamos derivada de soma e derivadas parciais:
dudt=ddt(x^3)+ddt(y^2)+ddt(z)

Passo 4

Derivando cada parte via regra da cadeia:
  • Para x³: ddt(x^3)=3x^2,dxdt e como x=t, dx/dt=1, logo dá 3t^2.
  • Para y²: ddt(y^2)=2y,dydt e y=t² então dy/dt=2t, resultando em 2,t^2cdot2t=4t^3.
  • Para z: ddt(z)=dz/dt e z=t³ dá dz/dt=3t^2.

Passo 5

Somando tudo obtemos
dudt=3t^2+4t^3+3t^2=6t^2+4t^3
Agora substituímos na expressão de dw/dt:
dwdt=cosl(ur),(6t^2+4t^3)
E lembrando que u=x^3+y^2+z=2t^3+t^4, a forma final é com esse argumento.

Passo 6

Para simplificar, colocamos o argumento explícito de coseno. Aí chega a gente em:
dwdt=cos(2t^3+t^4),(6t^2+4t^3)

Resposta

dwdt=cosl(2t^3+t^4r),(6t^2+4t^3)

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