Calcule as derivadas usando a regra da cadeia:
, onde
e
.
Passo 1
A gente tem a função composta w=sen(u) com u=x³+y²+z e ainda x, y, z dependem de t, então o conteúdo é regra da cadeia em várias camadas. Vamos calcular dw/dt aplicando a regra da cadeia passo a passo.
Passo 2
Primeiro identificamos as funções: a externa é f(u)=sen(u) e a interna é u(x,y,z)=x³+y²+z. Pela regra da cadeia básica temos dw/dt = f’(u)·du/dt. Como f’(u)=cos(u), fica:
Passo 3
Agora precisamos de du/dt, lembrando que u=x³+y²+z e x=x(t), y=y(t), z=z(t). Usamos derivada de soma e derivadas parciais:
Passo 4
Derivando cada parte via regra da cadeia:
- Para x³:
e como x=t, , logo dá . - Para y²:
e y=t² então , resultando em . - Para z:
e z=t³ dá .
Passo 5
Somando tudo obtemos
Agora substituímos na expressão de dw/dt:
E lembrando que
, a forma final é com esse argumento.
Passo 6
Para simplificar, colocamos o argumento explícito de coseno. Aí chega a gente em: