Calcule as derivadas usando a regra da cadeia:
d z / d t, onde z=sen(x^2+y^2), x=cos t, y=sen t

Passo 1

O enunciado pede para calcular dz/dt sabendo que z=sin(x^2+y^2), com x=cos t e y=sin t. O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia para funções compostas, além de derivadas básicas de trigonometria e da potência.

Passo 2

Para usar a regra da cadeia, a gente define uma função intermediária u=x^2+y^2, de modo que z=sin(u). Daí, pela regra da cadeia, temos:
dz/dt = dzdu cdot dudt
Aqui dz/du é a derivada de sin(u) em relação a u.

Passo 3

Como z=sin(u), a derivada em relação a u é dz/du=cos(u). Assim:
dz/dt = cos(u) cdot dudt

Passo 4

Agora precisamos de du/dt com u=x^2+y^2. Usando a soma de funções e a regra da potência composta, obtemos:
du/dt = d(x^2)/dt + d(y^2)/dt = 2xdxdt + 2ydydt

Passo 5

Calculamos dx/dt e dy/dt a partir de x=cos t e y=sin t. Derivando:
dx/dt = -sin t, dy/dt = cos t

Passo 6

Substituindo x=cos t, y=sin t, dx/dt=-sin t e dy/dt=cos t em du/dt:
du/dt = 2cos t(-sin t) + 2sin t(cos t) = -2cos tsin t + 2sin tcos t = 0

Passo 7

Por fim, voltando em dz/dt = cos(u)cdot du/dt, como du/dt=0, resulta em dz/dt = cos(u)cdot0 = 0.

Resposta

0

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