Calcule a integral definida:
\int_{0}^{\ln 3} e^{x} \ln \left(e^{x}+1\right) d x

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\ln 3} e^{x}\,\ln\bigl(e^{x}+1\bigr)\,dx,
utilizando técnicas de substituição e de integração por partes.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = e^{x},\quad dt = e^{x}\,dx,
que leva os limites x=0\mapsto t=1 e x=\ln 3\mapsto t=3. Assim
\int_{0}^{\ln 3} e^{x}\,\ln\bigl(e^{x}+1\bigr)\,dx = \int_{1}^{3} \ln\bigl(t+1\bigr)\,dt.

Passo 3

Para calcular
\int \ln\bigl(t+1\bigr)\,dt
usamos integração por partes, escolhendo \displaystyle u=\ln(t+1) e \displaystyle dv=dt. Então
du = \frac{1}{t+1}\,dt, \quad v = t,
e
\int \ln(t+1)\,dt = t\,\ln(t+1) - \int \frac{t}{t+1}\,dt.
Escrevemos
\frac{t}{t+1} = 1 - \frac{1}{t+1},
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\int \ln(t+1)\,dt = t\,\ln(t+1) - \int\!1\,dt + \int \frac{1}{t+1}\,dt = t\,\ln(t+1) - t + \ln(t+1) + C = (t+1)\ln(t+1) - t + C.

Passo 4

Avaliamo esta primitiva de t=1 a t=3:
\Bigl[(t+1)\ln(t+1) - t\Bigr]_{1}^{3} = \bigl[4\ln4 - 3\bigr] - \bigl[2\ln2 - 1\bigr] = 4\ln4 -3 -2\ln2 +1 = 6\ln2 -2.

Resposta

6\ln2 - 2

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