Considere uma barra uniforme de comprimento 30 , tal que
, e temperatura inicial dada por
. Suponha que a temperatura na extremidade
é mantida a
, enquanto que a extremidade
está isolada.
a) Determine a temperatura
.
b) Determine a temperatura na barra no estado estacionário.
a) Determine a temperatura
b) Determine a temperatura na barra no estado estacionário.
Passo 1
O problema é a equação do calor
com condição inicial
e condições de contorno mistas
Vamos resolver por separação de variáveis e expandir em séries de autovalores.
Passo 2
Assumimos
. Substituindo na equação do calor e dividindo por
obtém-se
Da parte temporal vem
Da parte espacial temos
com as condições
A condição
sugere solução do tipo
. A derivada em
dá
Logo
e as autofunções são
Passo 3
A solução geral é
Os coeficientes
vêm da expansão da condição inicial em série de senos ortogonais em
:
Fazendo integração por partes, obtemos
pois
. Portanto
Passo 4
Reescrevendo
e
, a solução é
Passo 5
No estado estacionário temos
, logo
. A solução geral é
. Aplicando
segue
. Portanto
Resposta
a)
b)