Calcule as derivadas:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular as derivadas (interpreto como a derivada primeira e a derivada segunda). Informações relevantes que temos:
- A função está escrita como uma constante sobre uma potência:
. - O domínio natural desta função é
(pois no ponto o denominador zera). - Vamos encontrar
(derivada primeira) e (derivada segunda).
Passo 2
Escolha do método: é mais simples reescrever a função como uma potência com expoente negativo e usar a regra da potência junto com a regra da cadeia. Vou explicar essas regras de forma clara.
Regra da potência (composta com uma função): se temos uma função
e um expoente
(número real), a derivada de
é dada por
Aqui
é a derivada da função interior
. Essa fórmula é a combinação da regra da potência com a regra da cadeia — primeiro reduzimos o expoente e depois multiplicamos pela derivada da parte interna. Exemplo simples (para fixar): se
e
, então
No nosso caso vamos aplicar a mesma ideia, com um coeficiente constante multiplicando.
Passo 3
Reescrevendo a função para aplicar a regra de forma direta:
Aqui a parte interior é
e o expoente é
. O coeficiente constante
pode ficar multiplicando.
Passo 4
Cálculo da derivada primeira
.
Aplicando a regra da potência composta a
:
- O coeficiente 2 permanece multiplicando.
- Pela regra, a derivada de
é vezes a derivada de , que é .
Fazendo passo a passo:
Como
, temos
Voltando para a forma de fração (mais clássica):
Passo 5
Cálculo da derivada segunda
.
Partimos de
. Aplicamos novamente a regra da potência composta com
e expoente
:
Como
, obtemos
Na forma de fração:
Passo 6
Observações finais e domínio:
- Ambas as derivadas estão definidas para
, mesmo lugar onde a função original é indefinida. - Resumo dos passos: reescrever como potência com expoente negativo, aplicar a regra da potência (multiplicar pelo expoente e reduzir o expoente em 1) e multiplicar pela derivada da parte interna (regra da cadeia). Dá para fazer também com a regra do quociente, mas é mais trabalhoso aqui — a forma com potência negativa é a mais direta.