Calcule as derivadas:
y=\frac{2}{(x-1)^{2}}\

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle y=\frac{2}{(x-1)^{2}} e pede para calcular as derivadas (interpreto como a derivada primeira e a derivada segunda). Informações relevantes que temos:
  • A função está escrita como uma constante sobre uma potência: \displaystyle y=\frac{2}{(x-1)^{2}}.
  • O domínio natural desta função é x\neq 1 (pois no ponto x=1 o denominador zera).
  • Vamos encontrar y' (derivada primeira) e y'' (derivada segunda).

Passo 2

Escolha do método: é mais simples reescrever a função como uma potência com expoente negativo e usar a regra da potência junto com a regra da cadeia. Vou explicar essas regras de forma clara.
Regra da potência (composta com uma função): se temos uma função u(x) e um expoente n (número real), a derivada de u(x)^n é dada por
\frac{d}{dx}\big(u(x)^n\big)=n\,u(x)^{\,n-1}\cdot u'(x).
Aqui u'(x) é a derivada da função interior u(x). Essa fórmula é a combinação da regra da potência com a regra da cadeia — primeiro reduzimos o expoente e depois multiplicamos pela derivada da parte interna. Exemplo simples (para fixar): se u(x)=x-1 e n=3, então
\frac{d}{dx}\big((x-1)^3\big)=3(x-1)^2\cdot \frac{d}{dx}(x-1)=3(x-1)^2\cdot 1=3(x-1)^2.
No nosso caso vamos aplicar a mesma ideia, com um coeficiente constante multiplicando.

Passo 3

Reescrevendo a função para aplicar a regra de forma direta:
y=\frac{2}{(x-1)^{2}} = 2\,(x-1)^{-2}.
Aqui a parte interior é u(x)=x-1 e o expoente é n=-2. O coeficiente constante 2 pode ficar multiplicando.

Passo 4

Cálculo da derivada primeira y'.
Aplicando a regra da potência composta a 2\,(x-1)^{-2}:
  • O coeficiente 2 permanece multiplicando.
  • Pela regra, a derivada de (x-1)^{-2} é (-2)(x-1)^{-3} vezes a derivada de x-1, que é 1.
Fazendo passo a passo:
y' = 2\cdot \frac{d}{dx}\big((x-1)^{-2}\big) = 2\cdot\big(-2\big)(x-1)^{-3}\cdot\frac{d}{dx}(x-1).
Como \frac{d}{dx}(x-1)=1, temos
y' = 2\cdot(-2)\,(x-1)^{-3} = -4\,(x-1)^{-3}.
Voltando para a forma de fração (mais clássica):
y' = -\frac{4}{(x-1)^{3}}.

Passo 5

Cálculo da derivada segunda y''.
Partimos de y' = -4\,(x-1)^{-3}. Aplicamos novamente a regra da potência composta com u(x)=x-1 e expoente n=-3:
y'' = -4\cdot \frac{d}{dx}\big((x-1)^{-3}\big) = -4\cdot(-3)\,(x-1)^{-4}\cdot\frac{d}{dx}(x-1).
Como \frac{d}{dx}(x-1)=1, obtemos
y'' = -4\cdot(-3)\,(x-1)^{-4} = 12\,(x-1)^{-4}.
Na forma de fração:
y'' = \frac{12}{(x-1)^{4}}.

Passo 6

Observações finais e domínio:
  • Ambas as derivadas estão definidas para x\neq 1, mesmo lugar onde a função original é indefinida.
  • Resumo dos passos: reescrever como potência com expoente negativo, aplicar a regra da potência (multiplicar pelo expoente e reduzir o expoente em 1) e multiplicar pela derivada da parte interna (regra da cadeia). Dá para fazer também com a regra do quociente, mas é mais trabalhoso aqui — a forma com potência negativa é a mais direta.

Resposta

y'=-\dfrac{4}{(x-1)^{3}}
y''=\dfrac{12}{(x-1)^{4}}

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