Calcule as derivadas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
que eu interpreto como
.
Informações dadas: a expressão explícita de é
. A pergunta é: encontrar
.
Informações dadas: a expressão explícita de
Passo 2
Conceito que vamos usar: regra da cadeia. Ela diz que, se temos uma composição de funções
, então a derivada é
Aqui
é a função exterior (a que recebe o resultado de
) e
é a função interior. Intuição rápida: derivar passo a passo de fora para dentro, multiplicando as derivadas de cada camada.
Passo 3
Identificar as camadas da composição na nossa função. Vou introduzir substituições para ficar claro:
Assim temos uma composição de três níveis:
.
Passo 4
Derivar cada uma das funções das camadas (explicando o porquê de cada fórmula):
- Derivada de
em relação a : como , sabemos que
porque a derivada da exponencial
é ela mesma.
- Derivada de
em relação a : como ,
porque a derivada de
é
.
- Derivada de
em relação a : como ,
pela regra do poder (derivada de
é
).
Passo 5
Aplicar a regra da cadeia encadeada multiplicando as derivadas obtidas:
Substituindo
,
e
, obtemos
Agora voltamos às variáveis originais
e
:
Passo 6
Podemos simplificar usando a fórmula do ângulo duplo: para qualquer
,
Aplicando com
, temos
Portanto uma forma mais compacta da derivada é
Observação prática: ambas as formas são equivalentes; escolha a que você achar mais bonita na prova.
Passo 7
Exemplos rápidos para fixar:
- Se
(ou seja ), então . Mesma ideia, só que a camada interna é em vez de . - Se
, então . Aqui tem apenas duas camadas, e a cadeia é igual só que sem o quadrado.
Força aí: na prova, identifica as camadas, deriva cada uma e multiplica — dá certo sempre.