Calcule as derivadas:
y=\sin ^{2} e^{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
y=\sin^{2} e^{x},
que eu interpreto como y=(\sin(e^{x}))^{2}.
Informações dadas: a expressão explícita de y é (\sin(e^{x}))^{2}. A pergunta é: encontrar \dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Conceito que vamos usar: regra da cadeia. Ela diz que, se temos uma composição de funções y=f(g(x)), então a derivada é
y' = f'(g(x))\cdot g'(x).
Aqui f é a função exterior (a que recebe o resultado de g) e g é a função interior. Intuição rápida: derivar passo a passo de fora para dentro, multiplicando as derivadas de cada camada.

Passo 3

Identificar as camadas da composição na nossa função. Vou introduzir substituições para ficar claro:
v = e^{x},
u = \sin(v) = \sin(e^{x}),
y = u^{2} = (\sin(e^{x}))^{2}.
Assim temos uma composição de três níveis: x \mapsto v \mapsto u \mapsto y.

Passo 4

Derivar cada uma das funções das camadas (explicando o porquê de cada fórmula):
  • Derivada de v em relação a x: como v=e^{x}, sabemos que
\frac{dv}{dx}=e^{x},
porque a derivada da exponencial \,e^{x}\, é ela mesma.
  • Derivada de u em relação a v: como u=\sin(v),
\frac{du}{dv}=\cos(v),
porque a derivada de \sin é \cos.
  • Derivada de y em relação a u: como y=u^{2},
\frac{dy}{du}=2u,
pela regra do poder (derivada de u^{n} é n u^{n-1}).

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia encadeada multiplicando as derivadas obtidas:
\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dv}\cdot\frac{dv}{dx}.
Substituindo \frac{dy}{du}=2u, \frac{du}{dv}=\cos(v) e \frac{dv}{dx}=e^{x}, obtemos
\frac{dy}{dx}=2u\cdot\cos(v)\cdot e^{x}.
Agora voltamos às variáveis originais u=\sin(e^{x}) e v=e^{x}:
\frac{dy}{dx}=2\sin(e^{x})\cdot\cos(e^{x})\cdot e^{x}.

Passo 6

Podemos simplificar usando a fórmula do ângulo duplo: para qualquer \alpha,
2\sin(\alpha)\cos(\alpha)=\sin(2\alpha).
Aplicando com \alpha=e^{x}, temos
2\sin(e^{x})\cos(e^{x})=\sin(2e^{x}).
Portanto uma forma mais compacta da derivada é
\frac{dy}{dx}=e^{x}\sin(2e^{x}).
Observação prática: ambas as formas são equivalentes; escolha a que você achar mais bonita na prova.

Passo 7

Exemplos rápidos para fixar:
  • Se y=\sin^{2}x (ou seja (\sin x)^{2}), então y'=2\sin x\cos x=\sin(2x). Mesma ideia, só que a camada interna é x em vez de e^{x}.
  • Se y=\sin(e^{x}), então y'=\cos(e^{x})\cdot e^{x}. Aqui tem apenas duas camadas, e a cadeia é igual só que sem o quadrado.
Força aí: na prova, identifica as camadas, deriva cada uma e multiplica — dá certo sempre.

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=2\sin(e^{x})\cos(e^{x})e^{x}=e^{x}\sin(2e^{x})

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