Calcule as derivadas.
Passo 1
Vamos calcular a derivada da função $ y = e^{3x}\left(\cos(2x) + \ln\left(x^{2}\right)\right) $. Neste exercício, vamos utilizar conceitos de derivadas, especificamente a regra do produto, derivadas de funções exponenciais, funções trigonométricas e funções logarítmicas. Para resolver, precisaremos lembrar das fórmulas básicas de derivação e como aplicá-las passo a passo.
Passo 2
Primeiro, identificamos que a função $ y $ é o produto de duas funções:
- $ u(x) = e^{3x} $
- $ v(x) = \cos(2x) + \ln\left(x^{2}\right) $
Para derivar $ y $, vamos usar a regra do produto, que afirma:
Passo 3
Vamos calcular $ u’(x) $, a derivada de $ u(x) = e^{3x} $.
A derivada de $ e^{kx} $ em relação a $ x $ é $ k e^{kx} $. Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular $ v’(x) $, a derivada de $ v(x) = \cos(2x) + \ln\left(x^{2}\right) $.
Primeiro, derivamos $ \cos(2x) $:
A derivada de $ \cos(kx) $ é $ -k \sin(kx) $. Portanto,
Em seguida, derivamos $ \ln\left(x^{2}\right) $:
Sabemos que $ \ln(x^{2}) = 2\ln(x) $. A derivada de $ \ln(x) $ é $ \frac{1}{x} $, então,
Portanto,
Passo 5
Agora que temos $ u’(x) $ e $ v’(x) $, aplicamos a regra do produto:
Substituindo os valores:
Passo 6
Podemos simplificar a expressão fatorando $ e^{3x} $:
Resposta
A derivada da função $ y = e^{3x}\left(\cos(2x) + \ln\left(x^{2}\right)\right) $ é: