Calcule as derivas a seguir
h(t)=ln (t^3 cdot ln t^2)

Passo 1

Estamos com a função h(t)=lnl(t^3cdotln(t^2)r). O conteúdo principal aqui é derivada de funções compostas, usando as propriedades dos logaritmos (produto e potência) e a regra da cadeia.

Passo 2

Aplicando a propriedade de logaritmo de produto e potência ( ln(ab)=ln a + ln b e ln(a^b)=bln a), reescrevemos:
h(t)=ln t^3 + lnl(ln(t^2)r)=3ln t + lnl(ln(t^2)r)

Passo 3

Agora derivamos cada termo separadamente. Para o primeiro termo 3ln t, usamos que ddt[ln t]=1/t. Assim:
ddt[3ln t]=3cdot1t=3t

Passo 4

Para lnl(ln(t^2)r) aplicamos a regra da cadeia. Se u(t)=ln(t^2), então ddt[ln u]=u'/u. Primeiro:
u(t)=ln(t^2)Longrightarrow u'(t)=ddt[ln(t^2)]=1t^2cdot2t=2t
Logo,
ddtl[ln(ln(t^2))r]=u'(t)u(t)=2/tln(t^2)=2t,ln(t^2)

Passo 5

Somando as duas derivadas, obtemos:
h'(t)=3t+2t,ln(t^2)
Podemos ainda usar ln(t^2)=2ln t para simplificar o segundo termo:
2t,ln(t^2)=2t,(2ln t)=1t,ln t
Portanto,

Passo 6

Juntando tudo fica
h'(t)=3t+1t,ln t = 3ln t +1t,ln t

Resposta

h'(t)=dfrac3t+dfrac1t,ln t, ou equivalentemente h'(t)=dfrac3ln t +1t,ln t.

Exercícios relacionados