Seja y ln (sin x)-x y^2=4. Calcule d yd x pelo processo de derivação implícita.

Passo 1

Estamos com a relação implícita
yln(sin x)-x y^2=4
que envolve as variáveis x e y. O conteúdo aqui é derivação implícita: vamos diferenciar ambos os lados em relação a x, usando as regras de produto e cadeia, sabendo que y=y(x).

Passo 2

Vamos derivar termo a termo.
Para yln(sin x), apliquei regra do produto $ (u v)’=u’v+u v’$:
(u v)'=u'v+u v'
E como ddxl(yln(sin x)r)=y'ln(sin x)+ycdotddxl(ln(sin x)r) , fica:
ddxln(sin x)=cot x
Para y'ln(sin x)+ycot x , também uso produto:
-x y^2)
que é
ddx(-x y^2)=-1cdot y^2-xcdot2y,y'
E a derivada de -y^2-2xy,y' é 4.

Passo 3

Juntando tudo e igualando a zero:
y'ln(sin x)+ycot x- y^2-2xy,y'=0
Agora agrupo os termos com y' de um lado e os demais do outro:
y'ln(sin x)-2xy,y'=y^2-ycot x
Fatorando y':
y'l(ln(sin x)-2xyr)=y^2-ycot x

Passo 4

Isolo y' dividindo pelo fator ln(sin x)-2xy. O resultado final é:
dydx=y^2-ycot xln(sin x)-2xy

Resposta

dydx=y^2-ycot xln(sin x)-2xy

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