Calcule as derivas a seguir
h(t)=ln tt^3+5

Passo 1

O enunciado pede a derivada de h(t)=ln tt^3+5. Esse cálculo usa o conteúdo de derivada de quociente, além das derivadas de funções básicas: ln t e potência de t.

Passo 2

Definimos as funções do numerador e denominador: u(t)=ln t e v(t)=t^3+5. Suas derivadas são u'(t)=1t e v'(t)=3t^2 seguindo as regras de derivação de logaritmo e potência.

Passo 3

Aplicamos a regra do quociente, que diz:
h'(t)=u'(t),v(t)-u(t),v'(t)[v(t)]^2

Passo 4

Substituindo u, u', v e v' na fórmula, obtemos:
h'(t)=1t(t^3+5)-ln tcdot3t^2(t^3+5)^2

Passo 5

Para simplificar, colocamos o numerador sobre o mesmo denominador t:
t^3+5t-3t^2ln t=t^3+5-3t^3ln tt

Passo 6

Assim a derivada fica:
h'(t)=t^3+5-3t^3ln tt,(t^3+5)^2

Resposta

h'(t)=t^3+5-3t^3ln tt,(t^3+5)^2

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