Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa, justificando:
não existe.
Passo 1
O enunciado pede pra decidir se o limite de uma função de duas variáveis em $0,0$ existe ou não. O conteúdo aqui é limite em várias variáveis e critério de dependência de caminho, e vamos usar expansão de Taylor de $,\sin t$ pra aproximar o numerador.
Passo 2
Primeiro, faço a expansão de Taylor de ordem 3 de
em torno de $x,y$ pequeno:
[
\sin(x - x^2 + y^2)= (x - x^2 + y^2)-\frac{(x - x^2 + y2)3}{6}+o\bigl((x,y)^2\bigr)
]
Subtraindo $x$ obtemos:
[
\sin(x - x^2 + y^2)-x= -x2+y2+o\bigl(x2+y2\bigr)
]
[
\sin(x - x^2 + y^2)= (x - x^2 + y^2)-\frac{(x - x^2 + y2)3}{6}+o\bigl((x,y)^2\bigr)
]
Subtraindo $x$ obtemos:
[
\sin(x - x^2 + y^2)-x= -x2+y2+o\bigl(x2+y2\bigr)
]
Passo 3
Divido pelo denominador $x2+y2$ e separo o termo pequeno:
[
\frac{\sin(x - x^2 + y2)-x}{x2+y^2}= \frac{-x2+y2}{x2+y2}+\frac{o(x2+y2)}{x2+y2}
]
Como $o(x2+y2))/(x2+y2)\to 0$, o comportamento principal é $( -x2+y2 )/(x2+y2)$.
[
\frac{\sin(x - x^2 + y2)-x}{x2+y^2}= \frac{-x2+y2}{x2+y2}+\frac{o(x2+y2)}{x2+y2}
]
Como $o(x2+y2))/(x2+y2)\to 0$, o comportamento principal é $( -x2+y2 )/(x2+y2)$.
Passo 4
Agora avalio caminhos distintos para ver se o valor depende do caminho. Se $y=0$,
[
\frac{-x2+0}{x2+0}=-1
]
Se $x=0$,
[
\frac{0+y2}{0+y2}=1
]
Como obtemos $-1$ em um caminho e $1$ em outro, o limite não existe.
[
\frac{-x2+0}{x2+0}=-1
]
Se $x=0$,
[
\frac{0+y2}{0+y2}=1
]
Como obtemos $-1$ em um caminho e $1$ em outro, o limite não existe.
Resposta
Verdadeiro