Calcule os seguintes limites de funções compostas:
;
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações dadas:
- As duas variáveis
e tendem simultaneamente para . - A função considerada é a exponencial composta
.
Passo 2
Entendimento da função composta: a expressão
é a composição da soma
com a função exponencial
. Portanto o comportamento de
quando
cresce depende do comportamento de
quando
.
Passo 3
Mostrar que
quando
.
Prova direta: seja
qualquer número grande. Se escolhermos
então sempre que
e
teremos
ou seja,
. Isso mostra que, ao fazermos
e
suficientemente grandes, a soma
fica arbitrariamente grande. Logo
Passo 4
Usar o comportamento da exponencial: a função
tem duas propriedades úteis aqui:
- é crescente (se
então ); - leva valores que tendem a
quando o argumento tende a .
Portanto, se
então
. Vou formalizar isso de forma direta para ficar pronto para uma prova.
Passo 5
Prova epsilônica (adaptada para limite no infinito): seja
um número arbitrário. Queremos mostrar que existe
tal que, para todo
com
e
, vale
.
Defina
Se
e
então
logo, pela monotonicidade da exponencial,
Isso prova que
pode ser tornada maior do que qualquer
escolhendo
e
suficientemente grandes. Portanto
Passo 6
Interpretação intuitiva curta e incentivo: como
e
vão para
, a soma
também vai para
e a exponencial disso cresce muito rápido — por isso o limite diverge para
. Boa! Você já tem aqui uma prova formal e também a intuição por trás.