Calcule os seguintes limites de funções compostas:
\lim _{(x, y) \rightarrow(+\infty,+\infty)} e^{x+y};

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{(x,y)\to(+\infty,+\infty)} e^{x+y}.
Informações dadas:
  • As duas variáveis x e y tendem simultaneamente para +\infty.
  • A função considerada é a exponencial composta (x,y)\mapsto e^{x+y}.

Passo 2

Entendimento da função composta: a expressão e^{x+y} é a composição da soma (x,y)\mapsto x+y com a função exponencial t\mapsto e^{t}. Portanto o comportamento de e^{x+y} quando (x,y) cresce depende do comportamento de x+y quando (x,y)\to(+\infty,+\infty).

Passo 3

Mostrar que x+y\to+\infty quando (x,y)\to(+\infty,+\infty).
Prova direta: seja L>0 qualquer número grande. Se escolhermos
N=\frac{L}{2},
então sempre que x>N e y>N teremos
x+y>N+N=L,
ou seja, x+y>L. Isso mostra que, ao fazermos x e y suficientemente grandes, a soma x+y fica arbitrariamente grande. Logo
\lim_{(x,y)\to(+\infty,+\infty)} (x+y)=+\infty.

Passo 4

Usar o comportamento da exponencial: a função t\mapsto e^{t} tem duas propriedades úteis aqui:
  • é crescente (se t_1<t_2 então e^{t_1}<e^{t_2});
  • leva valores que tendem a +\infty quando o argumento tende a +\infty.
Portanto, se x+y\to+\infty então e^{x+y}\to+\infty. Vou formalizar isso de forma direta para ficar pronto para uma prova.

Passo 5

Prova epsilônica (adaptada para limite no infinito): seja M>0 um número arbitrário. Queremos mostrar que existe R tal que, para todo (x,y) com x>R e y>R, vale e^{x+y}>M.
Defina
K=\max\!\left\{0,\;\frac{1}{2}\ln M\right\}.
Se x>K e y>K então
x+y>2K\ge \ln M,
logo, pela monotonicidade da exponencial,
e^{x+y}>e^{\ln M}=M.
Isso prova que e^{x+y} pode ser tornada maior do que qualquer M>0 escolhendo x e y suficientemente grandes. Portanto
\lim_{(x,y)\to(+\infty,+\infty)} e^{x+y}=+\infty.

Passo 6

Interpretação intuitiva curta e incentivo: como x e y vão para +\infty, a soma x+y também vai para +\infty e a exponencial disso cresce muito rápido — por isso o limite diverge para +\infty. Boa! Você já tem aqui uma prova formal e também a intuição por trás.

Resposta

+\infty

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